設置 2 個風險投資組合的夏普比率
您正在考慮對該股票進行投資。在股票市場中，有兩種風險股票（A 和 B）和無風險債權 C（您可以將其視為國庫券）。這三隻股票的共變異數和收益如下表所示：
假設你有一個風險厭惡 A=5 的均變異數效用函式。也就是說，你的效用函式是
令 P 為由股票 A 和 B 組成的風險投資組合。令 Wpa 為股票 A 在投資組合 P 中的權重，令 Wpb = 1-Wpa 為股票 B 在投資組合 P 中的權重。寫下投資組合的夏普比率P 作為 Wpa 的函式…
我在如何設置這個方程開始時遇到了麻煩，任何指導都會有助於開始這個
夏普比率被定義為線的斜率，它是由風險和無風險資產組成的投資組合的變異數函式的回報。
因此，如果您有一堆風險資產 (A,B) 和一個無風險資產 (C)，您只需計算風險資產 (A,B) 的有效投資組合，然後計算切線投資組合的夏普比率。
換句話說，A、B 資產組合的屬性（給定 $ x_A + x_B = 1 $ ） 是，
$$ \mu_e = \mu_A x_A + \mu_B x_B = \mu_A x_A + \mu_B (1-x_A)=x_A(\mu_A - \mu_B)+\mu_B, $$ $$ \sigma^2_e = \sigma^2_A x^2_A + \sigma^2_B x^2_B + \sigma_{AB}x_A x_B = x^2_A (\sigma^2_A+\sigma^2_B-2\sigma_{AB}) +2 x_A(\sigma_{AB} - \sigma^2_B) + \sigma^2_B, $$ 和 $ mu $ 預期回報，以及 $ \sigma^2 $ 風險。 這導致當您考慮組合中的無風險資產 C 時
$$ \mu_p = (1-x_e) r_f + x_e \mu_e = r_f + x_e(\mu_e-r_f), $$ 和 $ r_f $ 無風險回報，在你的情況下是 C 的 4% 回報。變異數僅由投資組合的風險部分給出，因此 $$ \sigma^2_p = x^2_e \sigma^2_e, $$ 從中可以方便地定義賦予有效投資組合的權重為 $$ x_e = \sigma_p / \sigma_e, $$ 確定 $$ \mu_p = (1-x_e) r_f + x_e \mu_e = r_f + \frac{(\mu_e-r_f)}{\sigma_e}\sigma_p. $$ 這條線的角係數，告訴我們可以使用無風險利率作為緩衝（並最終做空它）來調整波動率的預期回報，被稱為夏普比率，
$$ \frac{(\mu_e-r_f)}{\sigma_e}. $$ 如果你替換 $ \sigma_e $ 和 $ \mu_e $ 使用上面給定的等式，您的銳度比率為 $ x_A $ （或您所說的 Wpa）。
對於第一個任務，不需要 Utility 函式，但我想稍後它會要求使用它來計算所需的權重時會派上用場。
那麼，您需要計算投資組合的預期收益和波動率。考慮到您的權重在 A 中為 100% 長，在 B 中為 100% 短：
$$ E(r)_A-E(r)_B $$ 投資組合的波動性也是如此。 然後只需計算夏普比率：
$$ \frac{E(r){portf}-E(r){rf}}{Volatility_{portf}} $$