年金現值公式的解釋
我正在讀一本給出三個公式的書。在所有這些公式中：
- $ x $ 是將來收到的金額
- $ n $ 是年數
- $ r $ 是利率。
首先是一筆過的現值： $ PV = x / (1 + r) ^n $ . 很不言自明。假設我想要 $ 100 $ 美元 $ 20 $ 年並且可以將錢投資在 $ 5% $ 回報率，我今天必須投資多少才能擁有 $ 100 $ 美元 $ 20 $ 年？ $ 100 / (1.05) ^{20} = 37.69 $ . 或者，如果我有 $ 100 $ 今天的美元貶值了 $ 5% $ 一年 $ 20 $ 年，值得 $ 37.69 $ 美元 $ 20 $ 年。
第二個公式是永續年金現值的公式： $ PV = x / r $ ( $ x $ 是永遠在每年年底收到的金額。所以得到 $ 100 $ 每年年底的美元永遠等同於獲得 $ 2000 $ 今天的美元，假設我可以以 $ 5% $ 每年。
第三個公式似乎將兩者結合起來：年金現值的公式： $ PV = (x / r) - ((x / (1 + r) ^ n) / r) $ ( $ x $ 是每年年底收到的金額 $ r $ 年）。
請注意，左側正是永續年金現值的公式。右手邊是一筆過的現值除以 $ r $ .
我試圖理解第三個公式。有人會如何得出它？為什麼我們要從永續年金的現值中減去一筆過的現值？我憑直覺理解，年金的現值必須低於永續年金。如果 $ r = 20 $ ，需要有某種方式來表明付款停止後 $ 20 $ 年。我只是不確定如何將其納入此公式。
採取你的第二個陳述： $ \dfrac{x}{r} $ 是永續年金的現值 $ x $ 即日起（年內首次付款 $ 1 $ )
現在考慮永久支付的現值 $ x $ 第一年付款 $ n+1 $ . 這是年份的值 $ n $ 的 $ \dfrac{x}{r} $ , 折回到現在所以除以 $ (1+r)^n $ 給予 $ \dfrac{x}{(1+r)^n r} $
所以支付年金的現值 $ x $ 為了第一 $ n $ 年是這些之間的差異，即 $ \dfrac{x}{r}-\dfrac{x}{(1+r)^n r} $
另一種方法是考慮現值的總和 $ n $ 付款
$$ S= \dfrac{x}{(1+r)} + \dfrac{x}{(1+r)^2} + \cdots + \dfrac{x}{(1+r)^{n}} $$您可以使用以下方法計算此值以允許取消 $$ (1+r)S - S = x - \dfrac{x}{(1+r)^n} $$從那以後 $ (1+r)S-S=rS $ 變成$$ S=\dfrac{x}{r}-\dfrac{x}{(1+r)^n r} $$ 值得注意的是，第二項趨於零，如果 $ n $ 增加，因此長期年金的價值或成本接近永續年金的價值或成本