如何比較不同風險和預期收益的投資？
假設我可以選擇在幾種不同的投資中投資，每一種都有
- 風險 $ \sigma_i $ ，例如，計算為標準差
- 和預期回報 $ r_i $
- 讓我們假設它們具有相同的持續時間和相同的初始投資以使事情變得更簡單
例如，如果 $ \sigma_1 = \sigma_2 $ , 我可以很容易地選擇一個 $ r_i $ 更偉大。例如，如果 $ \sigma_1 = 1.1\sigma_2 $ 和 $ r_1 = 2r_2 $ , 合理 $ r_1 $ 更好。從上面，我可以決定選擇哪個投資 $ \frac{r_i}{\sigma_i} $ 更偉大。但這只是經驗性的和武斷的。這個方法好用嗎？有沒有更嚴格的投資選擇方式？
風險和預期回報之間的權衡取決於您自己的偏好。
假設您是期望效用最大化者，並讓投資回報由隨機變數給出 $ X $ . 您的實用程序由。 $$ \mathbb{E}(u(X)) $$
讓 $ \mu $ 是平均值 $ X $ 然後讓 $ \sigma^2 $ 是的變異數 $ X $ 然後取泰勒展開式 $ u(x) $ 大約 $ u(\mu) $ 給出： $$ u(x) \approx u(\mu) + u’(\mu)(x - \mu) + \frac{u’’(\mu)}{2}(x - \mu)^2 $$ 考慮雙方的期望給出： $$ \begin{align*} \mathbb{E}(u(X)) &\approx u(\mu) + u’(\mu)(\mu - \mu) + \frac{u’’(\mu)}{2}\sigma^2,\ &= u(\mu) + \frac{u’’(\mu)}{2} \sigma^2.\ \end{align*} $$
所以曲率越高 $ u $ （越負 $ u’’(\mu) $ ) 第二項的負數越多。直覺地說，曲率衡量的是對不確定性的厭惡程度。
請注意，這種近似只有在 $ X $ 與均值的偏差不大，因此泰勒展開式很好。
您還可以在零附近進行泰勒近似。這給出了： $$ \begin{align*} u(x) \approx u(0) + u’(0) x + \frac{u’’(0)}{2} x^2,\ \end{align*} $$ 所以： $$ \mathbb{E}(u(X)) \approx u(0) + u’(0) \mu + \frac{u’’(0)}{2} (\sigma^2 + \mu^2) $$