投資
投資者的風險厭惡優化問題
考慮一個擁有初始財富的投資者 $ w $ 並且必須決定如何投資。有回報率的無風險資產 $ r $ . 風險資產有回報 $ x_i $ 有機率 $ \pi_i $ 為了 $ i=1,2,3,…,n $ . 表示為 $ \alpha $ 投資者投入風險資產的財富比例，因此 $ 1- \alpha $ 是他投入無風險資產的部分。寫下投資者的優化問題。
這是我的作業測試中的一個問題。我想特別確認我對 a) 部分的回答，我寫道$$ max \sum_{i=1}^{n} \pi {i}[U((1-\alpha )w(1+r)-\alpha w+\sum{i=1}^{n}x_i] $$
這個，我們必須最大化 wrt $ \alpha $ 任何人都可以確認嗎？
您沒有指定財富的效用函式，所以我正在使用 $ u(\cdot) $ . 假如說 $ x_i $ 確實是一個回報率，投資者的優化問題是
$$ \DeclareMathOperator*{\argmax}{arg,max} \argmax_{\alpha \in \ [0,1]} \sum_{i=1}^{n} \pi_iu(w(1-\alpha)r + w\alpha x_i); $$
也就是說，投資者希望找到最優的 $ \alpha \in [0,1] $ 最大化預期效用而不是回報。
用詞：有機率 $ \sum_{i=1}^{n} \pi_i = 1 $ 投資者獲得回報 $ w(1-\alpha)r $ 來自無風險資產，但有機率 $ \pi_i $ 投資者獲得回報 $ w\alpha x_i $ 從風險資產。