多曲線框架中衍生品價值的預期變化
我正在閱讀 Piterbarg 的論文，“貼現之外的融資：抵押協議和衍生品定價”。並且有一個關於方程的問題 $ (6) $ . 他在那裡說，對於一個導數，我們有
$$ E_t[dV_t]=(r_F(t)V(t)-(r_F(t)-r_C(t))C(t))dt = (r_F(t)V(t)-s_F(t)C(t))dt $$
在哪裡 $ C(t) $ 抵押品金額， $ r_F $ 無擔保資金的短期利率， $ r_C $ 無風險利率的短期利率，對應於最安全的可用抵押品、現金和 $ s_F(t) $ 是資金價差 $ r_F-r_C $ . 為什麼上述導數預期變化的第一個公式是正確的？
從 $ (2) $ 皮特巴格_ _
$$ \begin{align*} V(t) = \Delta (t) S(t) + \gamma(t), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Delta (t)= \frac{\partial V(t)}{\partial S} $ ， 和 $ \gamma(t) $ 是滿足的現金賬戶 $$ \begin{align*} d\gamma(t) &= \big[r_C(t) C(t) + r_F(t)(V(t)-C(t))-(r_R(t)-r_D(t))\Delta(t)S(t) \big]dt\ &=\big[r_F(t)V(t) + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)-(r_R(t)-r_D(t))\Delta(t)S(t) \big]dt. \end{align*} $$ 此外，基於方程 $ (4) $ 在論文中， $$ \begin{align*} dS(t)/S(t) = (r_R(t)-r_D(t))dt + \sigma_S(t) dW_S(t). \end{align*} $$ 那麼，從自籌資金的情況來看， $$ \begin{align*} dV(t) &= \Delta (t) dS(t) + d\gamma(t)\ &=\big[r_F(t)V(t) + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)\big]dt + \Delta (t)S(t)\sigma_S(t) dW_S(t). \tag{E1} \end{align*} $$ 現在很明顯 $$ \begin{align*} E_t(dV(t)) = \big[r_F(t)V(t) + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)\big]dt. \end{align*} $$ 請注意，公式 $ (3) $ 和 $ (5) $ 在Piterbarg中也可以直接從 Equation 推導出來 $ ({\rm E}1) $ 以上。