首價拍賣的微分方程
我想求解一個第一價拍賣的微分方程。特別是，從 Jonathan Levin 2004 年 10 月的講稿中，我們有以下微分方程：
$$ b’(s) = (s-b(s))(n-1)\frac{f(s)}{F(s)} $$
解決這個問題，我們應該得到
$$ b(s) = s - \frac{1}{F^{N-1}} \int_\bar{s}^{s_i} F^{N-1}(\tilde{s}) ,{\rm d}\tilde{s} $$
我想了解如何獲得這個等式。
我發現Timothy P. Hubbard 和 Harry J. Paarsch 在 2011 年 11 月發表的一篇論文討論了這一部分。在第 6 頁，雖然它是微分方程的正則表達式，但我應該求解以下方程：
$$ y=\frac{1}{\mu(x)}\int_{x_0}^x \mu(u)q(u) {,\rm d}u + k $$
你能幫助如何解決這個方程得到 $ b(s) $ ?
為了符號簡單，讓我定義分佈 $ G(s) = F^{N-1}(s) $ 有密度 $ g(s) $ . 讓 $ \underline{s} = 0 $ （為簡單起見）。
我們有 $$ b’(s)G(s)+b(s)g(s)=s g(s) $$ 集成到 $ x $ 給我們 $$ \int_0^x b’(s)G(s)+b(s)g(s) ds = \int_0^x s g(s)ds $$ 請注意 $ \frac{\partial }{\partial s}(b(s)G(s)) = b’(s)G(s)+b(s)g(s) $ ， 所以 $$ b(x)G(x) = \int_0^x s g(s) ds $$ 我們使用邊界條件 $ b(0) = 0 $ .
現在， $$ b(x) = \frac{1}{G(x)}\int_0^x s g(s) ds $$
最後，將分部集成應用到 $ \int_0^x s g(s) $ 要得到 $$ b(x) = \frac{1}{G(x)}\left[ G(x) x - \int_0^xG(y) dy\right]= x - \int_0^x\frac{G(y)}{G(x)} dy $$