第二次價格拍賣 - 為保留價格調整 PDF
情況：
有 2 名玩家進行第二次價格拍賣。他們對拍賣對象的估價與 pdf 獨立同分佈 $ f $ 和 cdf $ F $ 超過 $ [0,\hat v] $ . 認為 $ f $ 是連續的和積極的 $ [0,\hat v] $ .
預訂出價 $ r $ 現在實施 - 獲勝者支付最高出價中的第二個，包括保留價格，或者如果兩者都出價較低，則沒有人獲勝。我想找到兩個出價都在上面的pdf $ r $ 以及以上一些 $ x $ ，並將其添加到計算拍賣師預期收入的等式中。
我已經發現兩個出價的 pdf 都高於 $ x $ : $ 2f(x)(1-F(x)) $ . 兩者的pdf都在上面 $ r $ 是 $ (1-F(r))^2 $ .
我已經查看了該問題的答案，它表明合併後的 pdf 是 $ \frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2} $ . 有人可以向我解釋這是怎麼回事嗎？
然後，在計算拍賣師的預期收入時，我們有兩個出價都高於的情況 $ r $ : $ (1-F(r))^2\int_r^\hat v{\frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}}dx $ . 我也很困惑為什麼我們乘以 $ (1-F(r))^2 $ .
為了在第二次價格拍賣中找到賣方的預期收入，其中保留價格由兩個競標者均衡出價，我們執行以下操作：
鑑於估值與 pdf 相同 $ f $ 和 CDF $ F $ 超過 $ [0, \hat{v}] $ ，賣家對玩家估值的不同變現所獲得的收益如下圖所示：
因此，賣方的預期收入為：
$$ \begin{eqnarray*} &&\int_r^\hat{v}\int_r^{v_2} v_1 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r^\hat{v}\int_{v_2}^\hat{v} v_2 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \ &&+\int_0^r\int_r^\hat{v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r^\hat{v}\int_0^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \ &=& \int_r^\hat{v}v_1 (1-F(v_1))f(v_1)dv_1 + \int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r)) \ &=& 2\int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r))\end{eqnarray*} $$
我認為您問題的第一部分必須要求條件機率。換句話說，對於 $ v_1 $ 和 $ v_2 $ 代表參與者 1 和參與者 2 的估值，我們應該被要求得到以下機率的導數（即密度）：
$$ Pr( v_1>x \land v_2>x ;|; r<v_1 \land r<v_2) $$ 因此它等於： $$ \frac{d\left( \frac{(1-F(x))^2}{(1-F(r))^2} \right)}{dx} = \frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2} $$ 然而，從你的話中可以推斷出它要求的是以下機率的推導（即密度）：
$$ Pr(v_1>max(r,x) ;\land; v_2>max(x,r)) $$ 但是，假設 wlog x>r，這正好等於 $ \frac{d\left( (1-F(x))^2 \right)}{dx} = 2f(x)(1-F(x)) $ ，所以沒有地方 $ r $ 因為如果 $ v_1 $ 和 $ v_2 $ 大於 $ x $ ， 和 $ x $ 大於 $ r $ ， 然後 $ v_i $ > $ x $ 暗示 $ v_i $ > $ r $ 為了 $ i=1,2 $ . 所以無需費心 $ r $ 在這種情況下。但我不認為你的問題要求這個。 對於你問題的最後一部分，我再次懷疑是否不需要 $ v_1 $ 和 $ v_2 $ 高於 $ x $ . 如果他們的唯一限制是高於底價 $ r $ ，那麼上面的阿米特給出了一個很好的答案，除了 $ v_1 $ 或者 $ v_2 $ 不能得到任何小於 $ r $ 處於平衡狀態，所以在他的計算中積分 $ \int_0^r\int_r^\hat{v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 $ 和 $ \int_r^\hat{v}\int_0^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 $ 沒用。當我們去掉這兩個積分時，我們得到了答案 $ 2\int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 $ （您可以替換變數 $ v_2 $ 經過 $ x $ 在這裡得到與您的答案相同的結果）。