分佈離散時的虛擬估值
auctin 中買方的虛擬估值是用於計算賣方從該買方獲得的預期收入的函式。當買方的價值來自於 pdf 的連續分佈時 $ f $ 和 cdf $ F $ ，虛擬估值為：
$$ r(v) := v - \frac{1-F(v)}{f(v)} $$ 當分佈是離散的時，虛擬估值應該如何計算？ 例如，假設買家的估值可以取三個值：1 美元 - 機率為 0.3，2 美元 - 機率為 0.3，3 美元 - 機率為 0.4。究竟是什麼 $ F $ 和 $ f $ 在這種情況下？
虛擬估值是預期收益函式對尾部機率的導數 $ q $ 然後以價值評估 $ v $ . 收入函式是
$$ R(q) = q\cdot v(q),;;; q = 1-F(v),;;; v(q) = F^{-1}(1-q) \tag{1} $$
和
$$ r(v(q)): = \frac{dR(q)}{dq}= \frac{d}{dq}\big[q\cdot F^{-1}(1-q)\big] \tag{2} $$
寫在計算之後，根據 $ v $ ， 所以
$$ r(v)=v - \frac{1-F(v)}{f(v)} \tag{3} $$
如果 $ v $ 是離散的，我們有
$$ q_j = 1-F(v\leq v_j),;;; j=1,…,k \tag{4} $$
現在在哪裡 $ F $ 是離散 rv 的分佈函式，其中 $ j $ 計算有序離散值 $ v $ 可能需要， $ v \in {v_1,…,v_k} $ .
離散化我們可以定義的關係
$$ r(v(q_j, q_{j+1})):= \frac{R(q_{j+1})-R(q_j)}{q_{j+1}-q_j} \tag{5} $$
這在 $ v $ 變成
$$ r(v(q_j, q_{j+1})):= \frac{v_{j+1}\cdot [1- F(v\leq v_{j+1})] -v_{j}\cdot [1- F(v\leq v_{j})]}{1- F(v\leq v_{j+1})-1+F(v\leq v_{j})} $$
$$ =\frac{v_{j+1}\cdot Pr(v > v_{j+1}) -v_{j}\cdot Pr(v > v_{j})}{-Pr(v=v_{j+1})} $$
使用
$$ Pr(v > v_{j}) = Pr(v=v_{j+1}) + Pr(v>v_{j+1}) $$
我們得到
$$ r(v_j,v_{j+1}) = v_{j} - (v_{j+1}-v_j)\cdot \frac{Pr(v>v_{j+1})}{Pr(v=v_{j+1})} $$
或者
$$ r(v_j,v_{j+1}) = v_{j} - (v_{j+1}-v_j)\cdot \frac{1-F(v_{j+1})}{Pr(v=v_{j+1})} \tag{6} $$
由於第一個近似值，如果 $ v $ 是連續的，並且 $ v_j,v_{j+1} $ 我們有“足夠接近”嗎
$$ Pr[v \in (v_j,v_{j+1})] \approx f(v_{j+1}) \cdot (v_{j+1}-v_{j}) $$
很明顯，離散情況的獲得關係如何可以看作是連續情況的類似物。
對於實際應用，還可以考慮對分母中的機率使用“連續性校正” $ (6) $ .