不同類型的掉期和廣義定價結構 - 相關掉期、變異數掉期、波動率掉期、伽馬掉期等
我對衍生品定價非常陌生，目前我正在嘗試自己學習這些。
據我所知，大多數簡單的衍生品（在相對於其關係中的標的物具有線性不變的罷工的意義上），期權的定價可能為：
$$ (S_T - K)^+ $$
對於看漲期權，反之對於看跌期權 $ (K - S_T)^+ $ , 說得很簡單（在歐式期權的情況下）。
現在，掉期（以一般的、概念性的方式）是相似的，從某種意義上說，存在決定收益的罷工和基礎。現在，除此之外，掉期往往會帶來
$$ N (S - K) $$
在哪裡 $ N $ 是名義上的。現在，這意味著對於諸如變異數掉期、波動率掉期和相關性掉期之類的掉期，以下成立：
變異數交換： $$ N_{\text{var}} (\sigma^2_{\text{realized}} - \sigma^2_{K}) $$
波動率互換： $$ N_{\text{vol}} (\sigma_{\text{realized}} - \sigma_{K}) $$
相關交換： $$ N_{\text{corr}} (\rho_{\text{realized}} - \rho_{K}) $$
利率互換： $$ N (r_{\text{fixed}} - r_{\text{float}}) $$
在哪裡 $ K $ 在每次掉期中表示相應的罷工資產（變異數/波動性/相關性/等）。這通常適用於大多數掉期產品，甚至適用於信用違約掉期的每個子部分或分支。
現在，我想知道是否有某種類型的總體理論或概念可以為類互換衍生品推導出來，以及是否有類似的互換的即插即用參數公式（就像期權一樣）通過布萊克-斯科爾斯）。情況似乎並非如此，因為掉期定價似乎取決於底層證券（相關性、波動性、變異數、利率差異等）。
是否有一些啟發式方法確實為掉期定價提供了一個總體框架，還是必鬚根據底層證券逐案進行？
對於變異數掉期（以及帶有一些警告的捲掉期），Black Scholes 模型是用於定價的主要工具。只是不太明顯。
使用您的範例，期權也沒有以 SK 或 KS 定價。這只是契約部分的代數表達。定價涉及為此尋找價值。
沒有關於定價配置甚至計價的假設。因此，你不能簡單地使用布萊克斯科爾斯。這在很大程度上取決於您如何定價。是股票、指數、商品（主要是期貨）、匯率還是債券？或者你能想到的任何其他基礎。股票是否支付股息？對於外匯，您的名義貨幣和溢價是什麼貨幣（Garman Kohlhagen假設 ccy1 是名義貨幣，ccy2 是溢價，其他一切都需要對公式進行（簡單）調整）。
就像您擁有基礎價格與行使價的期權一樣，所有掉期都有共同的收益，它們交換現金流（注，CDS 掉期有點用詞不當，因為從定價的角度來看，它們實際上是期權，需要預付款） .
通常對於掉期，人們將定價與估值區分開來：
- 定價涉及在啟動契約時確定適當的價格（或費率），這使得掉期通常在啟動時為零成本
- 估值涉及確定承諾的適當價值（通常在承諾開始之後）
對於普通的固定浮動 IRS 掉期，面值掉期利率是利率掉期的息票，它使掉期的市場價值等於零（使固定邊值等於浮動邊值的固定利率）。
對於變異數掉期，公平利率使得契約在開始時也為零。
這就是所有的共同點。
美國國稅局要求使用工具（現金、FRA 或期貨和掉期）建構的利率曲線來正確定價和估值。本質上，您需要貼現因子和遠期利率，但曲線建構的實際過程非常複雜，現在通常涉及同時剝離多條曲線。曲線選擇等使這幾乎更像是藝術而不是科學。
變異數互換具有理論上的複制性。遵循 delta 對沖策略的普通期權交易者實質上是在複製加權變異數掉期的收益，其中每日平方收益由期權的美元 gamma 加權。將這一論點更進一步，可以證明公平的變異數掉期等於所有行使價中虛值期權的加權價格的積分。這些權重與平方打擊成反比，這是 BlackScholes 伽瑪封閉式公式的應用。
這裡一個明顯的問題是期權市場是由一組給定期限的離散期權價格組成的。因此，通常首先計算 vol 曲面，通常再次使用 Black Scholes（忽略創建 vol 曲面所涉及的複雜性，例如期權價格去美國化、尋找隱含遠期和股息等，如果我們考慮指數或股票 VS，例如，FX 通常以 vol 為單位引用，這使得表面構造更容易）。實際上，您可能還希望限制積分區域（打擊範圍）以避免權重問題（尤其是非常小的打擊是由於權重而引起的問題）。
由於在跨行權複製實際日誌支付方面存在實際困難，股票指數 varswaps 市場通常以複製投資組合為基礎進行交易。
對於 Vol Swaps，事情有點混亂。簡而言之，Volswap 是 varswap - 凸度調整，凸度調整可以通過 var 上的期權組合進行複制。所以你基本上有 2 個複制投資組合。
JP Morgan Variance Swaps和Just what you need to know about Variance Swaps有兩份文件，後者更簡潔。順便說一句，這裡定義 delta 和 gamma 的方式是一種簡化。它只會在日內工作。理想情況下，希臘人直接來自複制投資組合。然而，這種完全分解並不是（許多）供應商提供的，主要是一級銀行已經實施。
Peter Carr 等人的《走向波動率交易理論》 。可能是最好讀的論文。
相關性互換本身就是一頭野獸。我不能對他們發表太多評論，因為這超出了我的知識範圍。它們經常根據 LV 或 SLV 與 MC 一起定價，但由於多種原因，它們都不會正確定價。有一些模型，例如 Local Vol Local Correlation (LVLC)，可能會更好一些，但歸根結底，這些模型非常奇特。既然你寫了你對衍生品定價很陌生，我會盡可能避免研究它們。您可能永遠不需要知道這裡發生了什麼（除非您是專門聘請作為這些產品的量化分析師的（物理學）博士）。前段時間我偶然發現了一條很好的推文。許多人傾向於認為一個工具是否給出了它有效的價格（這裡是 Monte Carlo Local Vol）。然而，那是經典的GIGO. MCLV 甚至不會正確定價香草 VS（校準永遠不會完美；MC 時間步長是有限的……）。