如何在 Swap 中將 Libor 利率更改為遠期 Libor 利率？
交換的已實現 PV（名義上為 1 ）為：
$ Swap(t)=\sum^n_{i=1} \tau_i \times D(t,Ti) \times (L(Ti, Ti, Ti+ \tau_i) - K) $
我們如何獲得具有遠期匯率的表達式：
$ Swap(t)=\sum^n_{i=1} \tau_i \times D(t,Ti) (L(t,Ti,Ti+ \tau_i) - K) $
我知道我們應該使用前向測量，但我不明白怎麼做？
謝謝 ！
一般事實：
從數學的角度來看，我們可以寫出要接收的流的 PV $ T $ 作為其期望值 $ T $ - 前向測量（這也是前向的值 $ t $ : $ F(t, T) $ ) 使用零息債券貼現。我們可以通過改變風險中性措施的措施來證明這一點 $ \mathbb{Q} $ 到 $ T $ - 前向測量 $ \mathbb{Q}_T $ 與零息債券相關 $ P(t,T) $ 作為現金。
事實上，使用 numéraire change 公式，我們可以寫出： $$ \begin{aligned} PV(t) &= \mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \left[ e^{-\int_t^T r(u) du } X(T)\right] \ &= \mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \left[ e^{-\int_t^T r(u) du } F(T, T)\right] \ &= P(t, T) \mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}_T} \left[F(T, T) \right]\ &= P(t, T) F(t, T)\ \end{aligned} $$
在最後一步中，我們使用了遠期價格在 $ T $ -前向措施： $$ F(t, T) = \mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}_T} \left[F(T, T) \right] = \mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}_T} \left[X(T) \right] $$
適用於掉期浮動腿：
讓我們將其應用於浮動腿。每個流量的付款日期是 $ T_i + \tau_i $ , sowe 從風險中性測度轉換 $ \mathbb{Q} $ 到 $ (T_i + \tau_i) $ - 前向測量 $ \mathbb{Q}_{T_i + \tau_i} $ :
$$ \begin{aligned} FloatingLeg(t) &= \sum^n_{i=1} \tau_i \times P(t, T_i + \tau_i) \times \mathbb{E}t^{\mathbb{Q}{T_i + \tau_i}} \left[L(T_i, T_i, T_i + \tau_i)\right] \end{aligned} $$
在下面 $ \mathbb{Q}_{T_i + \tau_i} $ , Libor 前鋒 $ \left(L(t, T_i, T_i + \tau_i)\right)_t $ 是鞅，因此：
$$ FloatingLeg(t) = \sum^n_{i=1} \tau_i \times P(t, T_i + \tau_i) \times L(t, T_i, T_i + \tau_i) $$