如果拖欠掉期中的浮動腿在當日支付，那麼對它們進行估值就像預測未來
從我所閱讀的內容來看，拖欠掉期支付是在重置日期的同一天（實際上，日元和美元+2 個工作日）支付。對我來說，在重置日期前一周，浮動利率是未知的。這意味著這就像預測一周前的利率一樣 $ {\sigma} $ - 波動性。拖欠掉期利率為掉期利率+凸性調整。當然，這裡沒有預測，只是修正收益率以解釋非線性價格與收益率的關係。顯然價格與時間呈線性關係，但收益率必須經過凸度修正。我希望有人能解釋一下。我已經多次閱讀赫爾的章節，閱讀網際網路上的文獻等，我沒有找到明確的描述。如果不清楚，我可以添加更多細節。謝謝。
我們考慮單一的 Libor 利率。交換應用程序很簡單。
考慮 Libor 計算週期 $ [T_1, , T_2] $ 以及在 $ T_1 $ . 我們表示 $ \Delta = T_2-T_1 $ 計算期的年長。在這裡，我們忽略了兩天的付款延遲，因為它對定價的影響並不重要。我們假設，在 $ T_2 $ - 前向測量 $ P_{T_2} $ , Libor 利率過程 $ {L(t, T_1, T_2) \mid 0 \le t \le T_1} $ ， 在哪裡
$$ \begin{align*} L(t, T_1, T_2) = \frac{1}{\Delta} \left(\frac{P(t, T_1)}{P(t, T_2)}-1\right), \end{align*} $$ 是鞅並且滿足形式為 SDE $$ \begin{align*} dL(t, T_1, T_2) = \sigma L(t, T_1, T_2) d W_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t \mid t \ge 0} $ 是標準布朗運動。那麼，對於 $ 0 \le t \le T \le T_1 $ , $$ \begin{align*} L(T, T_1, T_2) = L(t, T_1, T_2) e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t) + \sigma \int_{t}^{T} dW_s}. \end{align*} $$ 讓 $ B_t $ 是當時的貨幣市場賬戶價值 $ t $ . 那麼，對於 $ 0 \le t \le T_2 $ ,
$$ \begin{align*} \frac{dP}{dP_{T_2}} \big|t = \frac{B_t P(0, T_2)}{P(t, T_2)} \equiv \eta_t. \end{align*} $$ 此外，讓 $ E $ 和 $ E_{T_2} $ 分別是風險中性測度下的期望運算元和 $ T_2 $ ——前瞻措施。 然後值，在時間 $ t\le T_1 $ , Libor 利率 $ L(T_1, T_1, T_2) $ , 設置和支付都在 $ T_1 $ ， 是（誰）給的
$$ \begin{align*} B_t E\left(\frac{L(T_1, T_1, T_2)}{B_{T_1}}\mid \mathcal{F}t \right) &= B_t E{T_2}\left(\frac{\eta_{T_1}}{\eta_t}\frac{L(T_1, T_1, T_2)}{B_{T_1}}\mid \mathcal{F}t \right)\ &=P(t, T_2) E{T_2}\left(\frac{1}{P(T_1, T_2)}L(T_1, T_1, T_2)\mid \mathcal{F}t \right)\ &= P(t, T_2) E{T_2}\left(\left(\Delta L(T_1, T_1, T_2) + 1 \right)L(T_1, T_1, T_2)\mid \mathcal{F}t \right)\ &= P(t, T_2)E{T_2}\left(L(T_1, T_1, T_2) + \Delta L(T_1, T_1, T_2)^2\mid \mathcal{F}_t \right)\ &= P(t, T_2) \left(L(t, T_1, T_2) + \Delta L(t, T_1, T_2)^2 e^{\sigma^2 (T_1-t)}\right)\ &=P(t, T_1) \frac{L(t, T_1, T_2) + \Delta L(t, T_1, T_2)^2 e^{\sigma^2 (T_1-t)}}{\Delta L(t, T_1, T_2) + 1} \ &= P(t, T_1)\left(c_t + L(t, T_1, T_2) \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} c_t = \frac{\Delta L(t, T_1, T_2)^2}{\Delta L(t, T_1, T_2) + 1}\big(e^{\sigma^2 (T_1-t)} -1 \big) \end{align*} $$ 是凸度調整。請注意，只要我們可以估計波動率，就不需要近似值。
讓我們把所有付款都在同一時間簡單化。當您要計算浮動時，您總是查看上一期。但是為了計算第一筆付款，我們沒有時間 t=0 的遠期利率。但是，當您想在兩個時期之間進行計算時，您有遠期匯率，並且您始終可以固定下一個時期的匯率（浮動一個）。因此，您始終可以計算浮動前一個時期的金額。
當你打折並且你在時間 T 有一個浮動並且你有另一個 t 時，如果你想打折並查看它今天做了多少，你可以用 D(T) 將它打折，或者你先打折到時間 t用 D(t,T) 然後是 D(t)。你知道比率 D(T) 和 D(t)，但你不知道比率 D(t,T)。但是如果我們以任何一種方式打折，我們應該得到相同的結果，那麼我們應該有
$$ D(T)=D(t).D(t,T) $$
認為您要計算之間的遠期匯率 $ [T_{i-1}, T_i] $ 這將是：
$$ D(T_i)=D(T_{i-1}).D(T_{i-1},T_i) $$ 自從 $ D(T_{i-1},T_i) $ 不到一年，我們可以把簡單的複合配方，得到： $$ D(T_i)= D(T_{i-1}).D(T_{i-1},T_i)=\frac{D(T_{i-1})}{1+\Delta_i.F_i} $$ 現在你可以解決 $ F_i $ :
$$ F_i=\frac{D(T_{i-1})-D(T_i)}{\Delta_i .D(T_i)} $$