利率掉期票面利率
我有興趣推導出在單曲線框架下定價的利率掉期的票面利率。為了符號簡單起見，讓我們關注相應的Wikipedia 文章。
固定腿的現值可以計算為 $$ PV_{fixed} = NR\sum_{i=1}^{n_1}d_i x_i, $$ 在哪裡 $ N $ 是名義上的， $ R $ 是固定利率， $ n_1 $ 是固定腿的付款次數， $ d_1 $ 是應計中的小數化天數分數 $ i $ 第 ’ 期和 $ x_i $ 是相應的貼現因子。
類似地，浮動腿的現值由下式給出 $$ PV_{float} = N\sum_{j=1}^{n_2}r_j d_j x_j, $$ 在哪裡 $ n_2 $ 是浮動腿的支付次數和 $ r_j $ 是預測（遠期）利率。
為了找到我們設定的票面利率 $ PV_{fixed} - PV_{float} = 0 $ 並解決 $ R $ ，得到的表達式是 $$ R = \frac{\sum_{j=1}^{n_2} r_j d_j x_j}{\sum_{i=1}^{n_1} d_i x_i}. $$
然而，維基百科聲稱，在單曲線框架下，這個表達式可以進一步簡化為 $$ R = \frac{x_0 - x_{n_2}}{\sum_{i=1}^{n_1} d_i x_i} $$
上面的表達對我來說並不明顯。我們如何得出結論 $ \sum_{j=1}^{n_2} r_j d_j x_j = x_0 - x_{n_2} $ ?
由此得出，在單曲線框架下，預計利率 $ r_j $ 通過以下方式找到：
$$ r_j = \frac{\frac{x_{j-1}}{x_j} - 1}{d_j} $$
如果你插入這個表達式 $ r_j $ 在總和中，所有項都將取消，除了 $ x_0 $ 和 $ x_{n_2} $ .