將 3M FRA 費率轉換為 6M FRA 費率
我有一個問題，是否可以在沒有任何點差的情況下將 3M FRA 匯率轉換為 6M FRA 匯率。我們舉個例子：
法國 3M：
FRA 1x4 FRA 2x5 FRA 3x6 FRA 4x7 FRA 5x8 FRA 6x9
我需要計算的是：
6M起：
法國 1x7 法國 2x8 法國 3x9 法國 4x10 法國 5x11
有可能這樣做嗎？
從純數學的角度來看，這是可能的。例如，考慮日期 $ t_0 \le t_1 < t_2 < t_3 $ . 給定
$$ \begin{align*} L(t_0, t_1, t_2) = \frac{1}{\Delta t_2}\left(\frac{P(t_0, t_1)}{P(t_0, t_2)}-1 \right), \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} L(t_0, t_2, t_3) = \frac{1}{\Delta t_3}\left(\frac{P(t_0, t_2)}{P(t_0, t_3)}-1 \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Delta t_i = t_i-t_{i-1} $ ， 和 $ P(t, u) $ 是當時的價格 $ t $ 到期的零息債券 $ u $ 和單位面值。 然後
$$ \begin{align*} L(t_0, t_1, t_3) &= \frac{1}{t_3-t_1}\left(\frac{P(t_0, t_1)}{P(t_0, t_3)}-1 \right)\ &=\frac{1}{t_3-t_1}\left(\frac{P(t_0, t_1)}{P(t_0, t_2)}\frac{P(t_0, t_2)}{P(t_0, t_2)}-1 \right)\ &=\frac{1}{t_3-t_1}\Big(\big(1+\Delta t_2 L(t_0, t_1, t_2)\big)\big(1+\Delta t_3 L(t_0, t_2, t_3) \big)-1 \Big). \end{align*} $$ 例如，假設一個月有 30 天，天數約定是 30/360。如果法國 $ 1\times 4 $ 是 4% 和 FRA $ 4\times 7 $ 為 5%，那麼
$$ \begin{align*} FRA ,1\times 7 &=\frac{1}{0.5}\Big(\big(1+0.25\times 0.04)\big)\big(1+0.25 \times 0.05 \big)-1 \Big)\ &=0.04525, \end{align*} $$ 即 4.525%。