變異數交換：變異數可以，但是平方期望在哪裡？
到期時支付差異掉期 $ T $ 正比於 $ \left(\frac{252}{N} \sum_{i=0}^{N-1} R_i^2 \right) - \sigma_{\textrm{VS}}^2 $ 在哪裡 $ R_i \equiv \ln\left( \frac{S_{T_{i+1}}}{S_{T_i}} \right) $ 在哪裡罷工 $ \sigma_{\textrm{VS}}^2 $ 設置為使得在開始時貼現的支出等於 $ 0 $ . 美好的。
現在，變異數互換面額來自這樣一個事實，即正規化因子 $ 252 $ 分開， $ \sum_{i=0}^{N-1} R_i^2 $ 是對數回報的實際*變異數（在抽樣方面）。*根據定義，我更希望看到一個 $ \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} R_i^2 - \left( \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} R_i \right)^2 $ ，並且沒有看到 $ \left( \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} R_i \right)^2 $ 位表明 $ \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} R_i $ 必須假設（因為所有基礎 VS 都寫在：流動性股票、指數、外匯匯率等）等於 $ 0 $ .
為什麼對數回報應該具有零期望，即居中？真的嗎？如果是的話，在哪個時間尺度上是真的？（這裡的 VS 是每日的，但在哪些其他尺度下，對數回報的期望為零？）
按照市場慣例，變異數掉期中的“變異數”由上述假設平均回報為零的公式計算。
使用此約定有兩個原因（至少）：
(1) 從歷史數據來看，標準普爾 500 指數的預期回報率約為每年 10% 或更低，即每天約 4 個基點。與每天 1% 左右的每日回報標準差相比，這是很小的。因此，未能減去平均回報的平方會在變異數計算中引入一個相當小的誤差。對於大多數目的來說，它“足夠接近”。
(2) 也許更重要的是，正如 dm63 在上面的評論中指出的那樣，如果掉期是用公式的非零期望值版本定義的，使用實際收益，那麼對沖會更加困難，因為您暴露於變異數在任何一天，都以某種複雜的方式取決於迄今為止的回報總和，而在零版本中，您對變異數的敞口在所有日子裡都是相同的。
如這裡所描述的例子，已實現的變異數是收益平方的總和 - $ \sum_{i=0}^{N-1} R_i^2 $ 在你的符號中。
因此，假設公式由以下組成是錯誤的：
- “正規化因子” - $ 252 $
- 統計術語中的“對數回報的變異數” - $ \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} R_i^2 $ .
相反，公式的兩個部分是：
- 已實現變異數 - $ \sum_{i=0}^{N-1} R_i^2 $
- 時間段的倒數 - $ \frac{252}{N} $
而且由於我們不是在談論對數回報的變異數（在統計意義上），所以問對數回報是否以及為什麼應該具有零期望是沒有意義的！
已實現的變異數很有用，因為它提供了一個相對準確的標的波動性度量 - $ \sigma $ .
公式的實際推導如下所示。
讓 $ \alpha $ 和 $ \sigma $ 是常數，並定義幾何布朗運動
$$ S(t) = S(0) e^{\sigma W(t)+(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2)t} $$ 讓 $ 0 \leq T_1 < T_2 $ 並假設我們觀察到 $ S(t) $ 為了 $ T_1 \leq t \leq T_2 $ . 選擇這個區間的某個分區 $ T_1 = t_0 < t_1 < \cdots < t_m = T_2 $ 並觀察日誌返回 $ \log\frac{S_{t_{j+1}}}{S_{t_{j}}} $ 在每個子區間 $ [t_j, t_{j+1}] $ :
$$ \log\frac{S_{t_{j+1}}}{S_{t_{j}}} = \sigma (W(t_{j+1}) - W(t_j)) + (\alpha - \frac{1}{2}\sigma^2)(t_{j+1}-t_j) $$ 已實現的波動率 $ \sum_{j=0}^m\Big(\log\frac{S_{t_{j+1}}}{S_{t_{j}}}\Big)^2 $ 是：
$$ \sum_{j=0}^m\Big(\log\frac{S_{t_{j+1}}}{S_{t_{j}}}\Big)^2 = \sigma^2 \sum_{j=0}^m \big(W(t_{j+1})-W(t_j)\big)^2 + \big(\alpha - \frac{1}{2}\sigma^2\big)^2 \sum_{j=0}^m (t_{j+1}-t_j)^2 + \2\sigma(\alpha - \frac{1}{2}\sigma^2)\sum_{j=0}^m (W(t_{j+1})-W(t_j))(t_{j+1}-t_j) $$ 讓 $ |\Pi| = \max_{j=0,1,\cdots m-1}(t_{j+1}-t_j) $ . 然後：
$$ \lim_{|\Pi|\to 0} \sum_{j=0}^m (t_{j+1}-t_j)^2 = 0 \ \lim_{|\Pi|\to 0} \sum_{j=0}^m (W(t_{j+1})-W(t_j))(t_{j+1}-t_j) = 0 \ \lim_{|\Pi|\to 0} \sum_{j=0}^m \big(W(t_{j+1})-W(t_j)\big)^2 = T_2-T_1 $$ 因此： $$ \sigma^2 \approx \frac{1}{T_2-T_1}\sum_{j=0}^m\Big(\log\frac{S_{t_{j+1}}}{S_{t_{j}}}\Big)^2 $$ 現在你可以看到 $ \frac{252}{N} = \frac{1}{T_2-T_1} $ 我們不需要假設對數回報的期望為零。相反，假設 $ S(t) $ 遵循具有恆定波動的幾何布朗尼南運動。
上面的推導已經無恥地從這裡偷走了（3.4.3 幾何布朗運動的波動性）
也可以看看E. Derman 的“The Volatility Smile”。第 4 章“變異數互換”討論瞭如何複製變異數互換