了解 ML 估計器的推導
我試圖理解 ML 估計器的推導，更具體地說，是共變異數矩陣 Sigma 的重寫。在此重寫中，使用了一個引理來表明
$$ (1) \hspace{1.4 cm}\Omega=\sigma^2_{c}\boldsymbol{1}\boldsymbol{1’} + \sigma^2_{\varepsilon}I_T=(\sigma^2_{\varepsilon}+T\sigma^2_{c})\boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}’\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}’+\sigma^2_{\varepsilon}(I_T- \boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}’\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}’) $$ $$ \Omega^{-1}=\frac{1}{\sigma^2_{\varepsilon}+T\sigma^2_{c}}\boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}’\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}’+\frac{1}{\sigma^2_{\varepsilon}}(I_t-\boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}’\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}’) $$ $$ |\Omega|=(\sigma^2_{\varepsilon}+T\sigma^2_{c})\sigma^{{2(T-1)}}_{\varepsilon} $$ 引理說：
誰能解釋（1）中的第二個等式？
我同意 vanguard2k 的評論：關於符號的更多細節會有所幫助。但是，據我所知，第二個等式是一個簡單的擴展。
第一的， $ \mathbf{1}’\mathbf{1} = T $ （假設向量是 $ \mathbb{R}^T $ ）。表達方式 $ \mathbf{1} (\mathbf{1}’\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}’ $ 因此無非是一個 $ T\times T $ 矩陣與 $ \frac{1}{T} $ 在每個元素中。
我假設對矩陣進行標量加法實際上意味著添加了一個帶有標量作為每個元素的矩陣，即 $ \sigma_c^2 + \sigma_{\epsilon}^2 \mathbf{I}T := \sigma_c^2 \mathbf{1}\mathbf{1}’ + \sigma{\epsilon}^2 \mathbf{I}_T $ . 然後你可以寫：
$$ \begin{align} \sigma_c^2 + \sigma_{\epsilon}^2 \mathbf{I}T =&\ \sigma_c^2 T \frac{1}{T} \mathbf{1}\mathbf{1}’ + \sigma{\epsilon}^2 \mathbf{I}T \ =&\ T \sigma_c^2 \mathbf{1}(\mathbf{1}’\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}’ + \sigma{\epsilon}^2 \mathbf{I}T + \sigma{\epsilon}^2\mathbf{1}(\mathbf{1}’\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1} - \sigma_{\epsilon}^2\mathbf{1}(\mathbf{1}’\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}’ \ =&\ (\sigma_{\epsilon}^2 + T \sigma_c^2) \mathbf{1}(\mathbf{1}’\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}’ + \sigma_{\epsilon}^2 (\mathbf{I}_T - \mathbf{1}(\mathbf{1}’\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}’) \end{align} $$