不同波動率的近似值
假設我對遠期掉期利率對數正態進行建模
$$ dS_t = \sigma_{ln}S_tdW_t $$ 另一方面，我們可以簡單地通過正常假設對其進行建模：
$$ dS_t = \sigma_{n}dW_t $$ 我想知道波動率是否有關係 $ \sigma_n,\sigma_{ln} $ ? 一位朋友告訴我，他看到了近似值
$$ \sigma_n\approx \sigma_{ln}S_t $$ 然而，我的朋友和我都無法提出這個近似值的理由。那麼這是一個有效的近似值嗎？如果是這樣，為什麼，如果不是，我還能如何將這兩種波動率聯繫起來？
查看那裡的 SDE 解決方案可能會有所幫助。在第一種情況下
$$ S_t/S_0 = \exp(-\sigma^2/2 t + \sigma B_t) \quad \quad (1) $$ 因此，如果您記錄日誌 $ \sigma $ 是對數回報的波動性（假設 $ t=1 $ 時間步長），。 在第二種情況下
$$ S_t = S_0 + \sigma B_t \rightarrow S_t - S_0 = \sigma B_t \quad \quad(2) $$ 然後 $ \sigma $ 是波動率的絕對差值。 回到您的實際問題，解決方案應該是指數的簡單擴展。
取上述 (1) 的幾何布朗運動的解，我們看 $ \Delta t $ :
$$ S_{t + \Delta t} = S_t \exp(-\sigma_{ln}^2/2 \Delta t + \sigma_{ln} B_{t+\Delta t}) \approx S_t \exp( \sigma_{ln} B_{t+\Delta t}) $$ 我們觀察到 $ \sigma_{ln}^2/2 $ 是小。此外請注意 $$ \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n/n! \approx 1 + x $$ 最後一步是一個近似值 $ x $ 小，因此 $$ S_{t + \Delta t} \approx S_t (1+ \sigma_{ln} B_{t+\Delta t}) $$ 最後（在乘法和重新排列項之後） $$ S_{t + \Delta t} - S_t \approx S_t \sigma_{ln} B_{t+\Delta t} $$ 最後一個方程的形式為 (2) $ \sigma = \sigma_{ln} S_t $ .