估計歷史漂移和波動
我想預測價格 $ S(t) $ 基於歷史每日價值的某些資產。我想使用 SDE 給出的幾何布朗運動:
$$ dS=\mu S t + \sigma S dB, $$ 在哪裡 $ B $ 是布朗運動,用於建模。歷史價格為 $$ {S_i}{i=1}^N, $$ 我從中計算對數回報( $ N-1 $ 總共) $$ Z_i=\ln\frac{S_i}{S{i-1}}, $$ 和 1 天的歷史波動率作為回報的標準差: $$ \hat{\sigma} = \sqrt{Var{Z_i}}. $$ **Q1:**假設我想預測價格 $ S(t) $ 180 天。我應該採取 $ \sigma $ 在 SDE 中作為 1 天波動率 $ \hat{\sigma} $ 或作為 $ \sqrt{180}\hat{\sigma} $ ? 我想說的是 $ \sigma=\hat{\sigma} $ 因為我每天都在建模,但它是正確的嗎?
**Q2:**如何計算漂移 $ \hat{\mu} $ 從歷史價格看?是不是簡單
$$ \hat{\mu}=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^{N-1}Z_i, $$ 它(上面的公式)是1天的漂移嗎?
通過查看日誌返回,您正在檢查隨機過程
$$ Q_t = \log S_t $$
由
$$ \begin{align} dQ_t & = \left( \mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma, dB_t \ & \equiv \alpha ,dt + \sigma, dB_t \end{align} $$
在哪裡 $ \alpha=\mu-\tfrac{1}{2}\sigma^2 $ .
到目前為止,一切都是連續的。要解釋 SDE,您需要知道當 $ t $ 增加一個單位。如果之間的距離 $ t=0 $ 和 $ t=1 $ 是一天,那麼 $ Q_{t+1}-Q_t $ 是每日對數回報,並且 $ \mu $ 是每天的漂移。但是,如果之間的距離 $ t=0 $ 和 $ t=1 $ 是一年,那麼 $ \mu $ 是年漂移。
假設一個單位 $ t $ 是一天。然後定義 $ Z_i = Q_{i+1} - Q_i $ (相當於你對日誌返回的定義)公式
$$ \hat{\alpha} = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N-1} Z_i $$
給出這個過程的一日漂移,並且
$$ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N-2} \sum_{i=1}^{N-1} (Z_i - \hat{\alpha})^2 $$
給出一日變異數(因此 $ \hat{\sigma} $ 是一日標準差)。恢復漂移項的估計量 $ \mu $ 你定義
$$ \hat{\mu} = \hat{\alpha} + \tfrac{1}{2}\hat{\sigma}^2 $$
如果你想要 180 天的漂移和標準偏差,你需要
$$ \begin{align} \hat{\mu}{180} & = 180\hat{\mu} \ \hat{\sigma}{180} & = \sqrt{180},\hat{\sigma} \end{align} $$
純粹作為一個符號,我認為你的價格觀察是 $ {S_i}_{i=0}^N $ 這樣你就有 $ N+1 $ 價格觀察,以及 $ N $ 每日回報。稍後它將簡化您的公式。