基於首次退出時間的波動率
我希望有人可以幫助更好地解釋原因 $ \sigma $ (方程 2.19) 必須乘以 $ \frac{4n}{4n + 1} $ . 顯然所有的數學都在那裡。也許有人可以使這更容易理解。
參考在這裡：
在回答我們的問題之前，我想提醒您以下定義：
無偏估計： $ \hat{\theta} $ 是一個無偏估計量 $ \theta $ 如果 $ \mathbb{E}[\hat{\theta}]=\theta $ .
假設有一個樣本 $ {x_1, x_2,…, x_n} $ ，並且你想要一個它的變異數的無偏估計器 $ \sigma^2 $ ，則以下估計器滿足此屬性：
$ \hat{\sigma^2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \hat{\bar{x}})^2 $ ， 在哪裡 $ \hat{\bar{x}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i $ （這也是均值的無偏估計 $ \bar{x} $ ).
但是如果你想要一個標準差的無偏估計 $ \sigma $ ，那麼你不能只取平方根 $ \hat{\sigma^2} $ ，因為由於Jensen 不等式 應用於凹函式的情況 $ x \rightarrow \phi(x) $ （在這種情況下 $ x \rightarrow \sqrt x $ ) 取前一個估計量的平方根會導致標準差的有偏估計量。
但幸運的是，科克倫定理的應用表明：
如果我們表示 $ s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \hat{\bar{x}})^2} $ 然後 $ \sqrt{n-1}\frac{s}{\sigma} $ 有一個 $ \chi_{n-1} $ 分配。這導致 ：
$ \mathbb{E}[s]= (\sqrt{\frac{2}{n-1}}\frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}) \sigma = (1 + \frac{1}{4n} + O(\frac{1}{n^2})) \sigma = (\frac{4n+1}{4n} + O(n^{-2}))\sigma\approx\frac{4n+1}{4n}\sigma $
因此，如果您想獲得標準偏差的無偏估計量（到某個近似值），您需要使用：
$ s’ = \frac{4n}{4n+1} s $ 因此
$$ \mathbb{E}[s’]= \frac{4n}{4n+1} \mathbb{E}[s]=(\frac{4n}{4n+1})(\frac{4n+1}{4n})\sigma = \sigma $$ 我希望這個能幫上忙！