這兩個 SDE 的波動率是否相同
$$ (1) \ \ d\left(\frac{1}{S_t}\right) =\frac{1}{S_t}\left(\sigma^2-r\right)dt +\frac{1}{S_t}\sigma dW_t $$ 和 $$ (2) \ \ dS_t = S_t rdt + \sigma S_t dW_t $$ 你怎麼能證明這一點？
我們先重寫兩個程序，讓 $ X_t = 1/S_t $ 然後我們有
$$ dX_t/X_t = (\sigma^2-r)dt + \sigma dW_t, $$ 使用解決方案（應用 Ito） $$ X_t = X_0 \exp((\sigma^2/2-r) t + \sigma W_t), $$ 和 $$ dS_t/S_t = r dt + \sigma dW_t, $$ 使用解決方案（應用 Ito） $$ S_t = S_0 \exp((r-\sigma^2/2) t + \sigma W_t). $$ 如果我們看一下這兩個過程 $ t $ 然後他們的波動率定義為係數 $ dW_t $ 在 SDE 中是不同的。這是 $ X_t \sigma = \sigma/S_t $ 對於第一個和 $ \sigma S_t $ 對於第二個-對於任何路徑，這些數字都非常不同 $ S_t $ . 如果您查看過程的變異數，那麼我們從有關對數正態分佈 ( http://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution ) 的結果中知道
$$ Var[X_t] = X_0^2 \exp(-2rt+2\sigma^2t)(\exp(\sigma^2 t)-1), $$ 和 $$ Var[S_t] = S_0^2 \exp(2rt)(\exp(\sigma^2t)-1). $$ 也非常不同：所以答案是否定的。
我們需要從 $ (2) $ . 我們從 Ito 的引理開始，它規定了單變數情況：
$$ \ df(S_t) = f’(S_t)dS_t + \frac{1}{2}df’’(S_t)Var[dS_t] $$環境 $ f=1/S_t $ 產量：$$ \ d\bigg(\frac{1}{S_t}\bigg) = -\frac{1}{(S_t)^2}dS_t+\frac{1}{2}\frac{2}{(S_t)^3}\sigma^2(S_t)^2Var[dW_t] \Rightarrow $$ $$ \d\bigg(\frac{1}{S_t}\bigg) = -\frac{1}{(S_t)^2}(S_trdt+\sigma S_tsW_t)+\frac{1}{2}\frac{2}{(S_t)^3}\sigma^2(S_t)^2Var[dW_t] $$作為 $ Var[dW_t] = dt $ ，經過一些代數和公因式分解後，我們最終得到：$$ \ d\bigg(\frac{1}{S_t}\bigg) = \frac{1}{S_t}(\sigma^2 - r)dt - \frac{1}{S_t}\sigma dW_t $$