隱含波動率近似公式的證明
我正在嘗試將局部波動率模型校準為觀察到的隱含波動率微笑（不是表面！，只是為固定期限給出的微笑）。
我遇到了以下近似值，並認為我可以插入隱含波動率公式，並求解局部波動率；
$$ \sigma_{i}^2(K,T) = \frac{\sigma^2(S(0), 0) + \sigma^2(K,T)}{2}. $$ $ \sigma_i $ 是隱含波動率。
然而我的問題是，這個近似值是從哪裡來的？
我知道 Dupire 的公式，你知道那個是兩個積分的分數。我找不到它，但它是從那個近似值派生的嗎？如果是這樣，怎麼做？
假設局部波動動態為：
$$ dS_t/S_t = \sigma(S_t) dW_t^\Bbb{Q} $$ 我們剛剛假設的地方 $ r=0 $ 不失一般性（如果 $ r $ 不是零，你只需要改變測量 $ T $ ——前向測量）。 假設您想擬合市場隱含波動率微笑 $ \Sigma(T,K) $ .
沒有封閉式公式可以表達 $ \Sigma(T,K) $ 作為一個函式 $ \sigma(S_t) $ .
然而，文獻中有很多近似值：
- 對於短期期權（ $ T \to 0 $ ）， 我們有
$$ \Sigma(T,K) \approxeq \frac{\ln(S_0/K)}{\int_K^{S_0} (s\sigma(s))^{-1} ds} $$ 稱為 BFF 近似 (Berestycki, Busca & Florent - 2001)。您可以通過 (1) 在時間上擴展 Dupire 局部波動率 (2) 假設隱含波動率也可以在時間的冪中擴展並確定零階 $ T $ 條款。
- 對於長期期權，可以擴展後一個公式以獲得：
$$ \Sigma(T,K) \approxeq \Sigma_0(K) + \Sigma_1(K) T $$ 和 $$ \Sigma_0(K) = \frac{\ln(S_0/K)}{\int_K^{S_0} (s \sigma(s))^{-1} ds} $$ $$ \Sigma_1(K) = -\frac{\Sigma_0(K)}{\left( \int_K^{S_0} (s\sigma(s))^{-1} ds \right)^2} \ln \left( \frac{\Sigma_0(K)}{\sqrt{\sigma(S_0)\sigma(K)}} \right) $$
- 對於短期期權，Pat Hagan (Hagan, Kumar, Lesniewski & Woodward - 2002) 給出了另一個近似值：
$$ \Sigma(T,K) \approxeq \sigma(\sqrt{S_0 K} ) $$
參考
@Quantuple 的回答是正確的。看漲價格或隱含交易量作為本地交易量的函式沒有精確的封閉式公式，這是獨特且具有諷刺意味的，因為有相反的公式。據我所知，最接近實際精確公式的是答案中給出的諧波短期成熟度擴展。
但是，（這是對您問題的直接回答），所謂的“sigma-zero”公式確實提供了隱含 vol 作為局部 vol 函式的精確表達式，儘管這是一個隱含公式，並且對其某些術語的評估需要數值實現。因此，這個公式儘管是精確的，但在實踐中不能直接使用。
這是公式（這是一個更通用的公式，也適用於隨機波動率，對於局部波動率，將局部變異數的條件期望替換為局部 vol 的平方）：
- 隱含變異數是局部變異數隨時間和點的加權平均值。
- 權重是機率密度的乘積（在局部 vol 模型中無法解析，必須通過數值計算，例如在 Fokker-Planck 方程上使用 FDM）乘以 gamma（在 Black-Scholes 中計算得到的隱含 vol ，使公式隱含）。
如需展示，請觀看此影片：Antoine Savine, RiO2018或在SlideShare上訪問其幻燈片。你也可以在這裡查閱我的講義，幻燈片 71-78。
請注意，Dupire 也發現了（但未發表）sigma-zero 公式，他的展示特別具有啟發性，因為它來自對沖錯誤的分析。
儘管它不切實際，但這個公式提供了一個深刻的直覺，即本地波動率如何結合產生歐洲期權價格和隱含波動率，並且它一直是大量工作的基礎，以找到或多或少精確、或多或少複雜的實用近似值，最突出的是 Blacher（參見他在YouTube上關於 RiO 2018 的演講）和 Gatheral（在他著名的教科書 Volatility Surface 中）。
到目前為止，這些近似值中最簡單的（但絕對不是最準確的！！）是注意，如圖所示，機率密度在今天是最大的，而 gamma 在到期時是最大的，因此一個簡單的近似是從這兩個點平均局部變異數，忽略表面的其餘部分。
這正是您要問的近似值:)
