Quanto 衍生品和外匯風險管理
讓我們假設我們有一個具有波動性的外國資產 $ \sigma_{ASSET} $ . 現在，我知道在國外衡量這個定價時，我需要做一個漂移調整，即 $ \sigma_{ASSET NEW}^2 = \sigma_{ASSET}^2 + \sigma_{FX}^2 +2\rho\sigma_{ASSET}\sigma_{FX} $ .
另一方面，我知道這可以進行外匯對沖。我的問題是，當我持續對沖時，這種波動會發生什麼？
我的想法是應該刪除與 FX 相關的任何內容，但我不能證明這一點。
編輯：我正在進一步澄清我所追求的。在試圖找到對沖資產（對沖外匯）的波動性時，我通過查看國內單位的收益來確定波動性。那是， $ S_T X_T + \sum_{i=1}^N S_{t_{i-1}}(F_{t_{i-1},t_i}^X-X_{t_i}) $ ， 在哪裡 $ N $ 是對沖的數量，使得 $ t_N = T $ ， 和 $ T $ 是成熟度。
我使用矩匹配提出了一個波動性（看起來真的很亂，所以除非需要，否則我不會在這裡發布）。現在我正在研究隨著對沖之間的增量變小會發生什麼。那是， $ N\rightarrow \infty $ 和 $ t_i-t_{i-1}\rightarrow 0 $ . 我認為可能發生的情況如上所述，與外匯有關的任何事情都完全脫離了波動性。但是，我所擁有的波動性似乎並非如此。我的方法無效嗎？
當您通過外匯對沖時，有兩個因素會影響貨幣對投資組合的影響：貨幣相對於標的資產的波動性以及貨幣與標的資產之間的相互作用。波動率（波動性外幣/波動性資產）越大，外幣敞口對投資組合波動性的影響越大。波動率越低，資產-貨幣相關性在確定投資組合風險時就越重要結果。兩種影響的淨效應決定了通過對沖外匯風險是增加還是減少了總投資組合風險。
$$ Answer $$
是的，這來自將期權價格解釋為完美複製投資組合的初始禀賦。這裡的複制包括持有股票+外國/國內債券的自籌資金組合，其中一個人不斷動態地重新平衡增量（假設所有通常的假設都成立：即沒有交易條件等）。
我建議您閱讀本文件的第 3.2 節。Quanto 期權的套期保值在第 3.2.4 節中專門討論。對沖策略的解釋 p.33 對您來說很重要。
$$ Some details $$
考慮股票底層 $ S_t $ 以外幣計價的。
考慮 FOR/DOM 匯率 $ X_t $ ，這是當時的價格 $ t $ 以本國貨幣表示的一單位外幣。DOM/FOR 匯率為 $ t $ 顯然是由 $ Y_t=(X_t)^{-1} $ .
假設兩者 $ S_t $ 和 $ Y_t $ 在外國風險中性測度下是對數正態的 $ \mathbb{Q}^f $ , 具有線性相關性 $ \rho $ 在他們駕駛的布朗運動之間
$$ S_t^f \sim GBM(r^f, \sigma_{ASSET}) \iff S_t^f \sim N(\ln(F(0,t))-\frac{1}{2}\sigma_{ASSET}^2 t, \sigma_{ASSET}^2 t) $$ $$ Y_t \sim GBM(r^f - r^d, \sigma) \iff Y_t \sim N(\ln(F^Y(0,t))-\frac{1}{2}\sigma^2 t, \sigma^2 t) $$ 在哪裡 $ F(0,t) $ 表示以外國風險中性衡量的遠期股權，並且 $ F^Y(0,t) $ 遠期 DOM/FOR 匯率。 綜上所述，以本幣單位表示的標的股權價格，即 $ S_t X_t $ , 確實是一個具有變異數的對數正態分佈隨機變數：
$$ (\sigma_{ASSET}^2 + \sigma^2 + 2\rho \sigma_{ASSET} \sigma)t $$ 這是因為 $ S_t X_t $ 是 2 個相關對數正態變數的乘積（即 $ S_t X_t $ 是兩個相關正態變數的總和。看到那個 $ X_t $ 確實是對數正態分佈的，您可能需要將 Itô 引理應用於 $ X_t=1/Y_t $ ). 現在，儘管這是真的，但我認為它對您試圖證明的內容沒有用處，尤其是因為您正在處理具有支付函式 的雙輪期權：
$$ \phi(S_T) = f(S_T), \text{e.g. } X^{quanto} (S_T-K)^+ $$ 在哪裡 $ X^{quanto} $ 是一個常數（通常 $ X^{quanto} = 1 $ ) 而不是具有支付功能的 組合期權：$$ \phi(S_T,X_T) = f(S_T X_T), \text{e.g. } (S_T X_T - K)^+ $$ 當您查看 quanto 選項時，有兩件事很重要：
- 通過構造，雙元期權的價格不取決於外匯匯率
- Quanto 期權的 delta 自然嵌入了外匯風險。這是因為，儘管您的期權以 DOM 貨幣支付（因此以 DOM 為單位的 delta），但您通過購買外國標的股票（因此以 FOR 單位）進行對沖。因此，儘管您在 DOM 單位中有一個恆定的名義值，但您在 FOR 單位中的 delta 名義值會由於匯率的波動而不斷變化。