Sinclair 的“波動率交易”一書中的波動率公式與 TTR 不同
在“波動率交易”中，Euan Sinclair 將 Yang-Zhang 波動率估計器定義為
$$ \sigma = \sqrt{\sigma^2_o + k\sigma^2_c + (1-k)\sigma^2_{rs}} $$
在哪裡 $$
\sigma^2_o \propto Variance\left(ln\left(\frac{o_i}{o_{i-1}}\right)\right) $$ $$ \sigma^2_c \propto Variance\left(ln\left(\frac{c_i}{c_{i-1}}\right)\right) $$ $$ \sigma^2_{rs} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left( \left(ln \frac{h_i}{c_i}\right) \left(ln \frac{h_i}{o_i}\right) + \left(ln \frac{l_i}{c_i}\right) \left(ln \frac{l_i}{o_i}\right) \right) $$/* 我在用著 $ \propto $ 符號為“成比例”，以避免不偏不倚 $ Variance $ 通過乘法 $ Variance $ 經過 $ \frac{N}{N-1} $ . 請參閱參考下面螢幕截圖中的實際公式。*/
但是，TTR 包1使用不同的公式 $ \sigma_o^2 $ , $ \sigma_c^2 $ ：
$$
\sigma^2_o \propto Variance\left(ln\left(\frac{o_i}{c_{i-1}}\right)\right) $$ $$ \sigma^2_c \propto Variance\left(ln\left(\frac{c_i}{o_{i}}\right)\right) $$我在圖表上繪製了 Garman-Klass、Parkinson、Yang-Zhang（TTR 和 Sinclair 的）估計量：
它顯示了 Sinclair 的 Yang-Zhang 定義與其他估計器相比如何系統地偏離（並且高估？）波動性。
問題
辛克萊的公式有錯字嗎？
參考
- TTR 波動率文件
- Sinclair 書中的 Yang-Zhang 波動率估計器：截圖
如有疑問，請查閱原始論文：
在論文的開頭，作者描述了標準化打開和關閉的以下定義（第 479 頁）：
$$ \begin{align*} o&=\ln(O_1) - \ln(C_0) = \ln\left(\frac{O_1}{C_0}\right), \quad \text{normalized open;}\ c&=\ln(C_1) - \ln(O_1)= \ln\left(\frac{C_1}{O_1}\right), \quad \text{normalized close.} \end{align*} $$
此外，在第 II 節中，他們將波動率估計器定義為（第 482 - 488 頁）：
$$ \begin{align*} V &= V_O + k \cdot V_C + (1-k) \cdot V_{RS}\ V_O&= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (o_i - \bar{o})^2\ V_C&= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (c_i - \bar{c})^2\ \bar{o}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n o_i\ \bar{c}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c_i,\ \end{align*} $$ 在哪裡 $ V_{RS} $ 在本文後面得出。寫出其中一個變異數度量——使用原始論文中的符號——可以清楚地表明該
TTR包已按照最初的預期定義了 Yang-Zhang 估計量： $$ \begin{align*} V_O&= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (o_i - \bar{o})^2\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(o_i - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n o_i\right)^2\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(\ln\left(\frac{O_i}{C_{i-1}}\right) - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln\left(\frac{O_i}{C_{i-1}}\right)\right)^2\ &=V_O^{\text{TTR}}. \end{align*} $$ 你可以做同樣的推導 $ V_C $ . 是的，我相信辛克萊在他的書中有一些錯誤。