Hull-White 模型的校準細節
考慮單因素 Hull-White 模型
$$ \mathrm{d}r(t) = (\theta(t)-\kappa r(t))\mathrm{d}t + \sigma\mathrm{d}W(t) $$ 當人們根據市場數據校準模型時，選擇
$$ \theta(t) = \frac{\partial f^M}{\partial T}(0,t) + \kappa f^M(0,t) + \frac{\sigma^2}{2\kappa}\left(1-\mathrm{e}^{-2\kappa t}\right) $$ 在哪裡 $ f^M(0,T) = -\frac{\partial}{\partial T}\log(P^M(0,T)) $ 與觀察到的債券期限結構 $ P^M(0,T) $ 在校準時。
關於此校準，我有幾個問題：
我如何想出這個公式 $ \theta(t) $ ? 我總是讀到這使模型與市場的零曲線對齊。您如何得出該公式實際上建立了所需的一致性？
我該如何想出 $ P^M(0,T) $ 和 $ f^M(0,T) $ ? 採取以下方法對嗎？
- 首先是零曲線 $ y^M(t) $ 使用優惠券軸承工具自舉。
- 自舉曲線僅在所考慮工具的到期日給出的有限數量的點上給出。我們對這些點進行插值（例如通過樣條插值）以獲得函式 $ y^M(t) $ 在連續域上。
- 現在我們得到 $ P^M(0,T) $ 通過設置 $ P^M(0,T) = \exp(-y^M(T)T) $ .
- 在最後一步，我們計算導數 $ f^M(0,T):=-\frac{\partial}{\partial T}\log (P^M(0,T)) = -\frac{\partial}{\partial T}\left(y^M(T)T\right) = -\left(\frac{\partial}{\partial T}y^M(T)\right)T - y^M(T) $
關於你的第一個問題：方程 $ \theta(t) $ 由一致性條件得到
$$ \forall T, ;; E\left[e^{-\int_0^T r(t) dt} \right] = P^M(0,T) $$ 在使用 SDE 的集成版本進行了一些複雜的計算之後 $ r $ $$ r(t)=e^{-\kappa t}r(0) + \int_0^t e^{-\kappa (t-u)} \theta(u) du + \int_0^t e^{-\kappa (t-u)} \sigma dW(u) $$ 關於您的第二個問題，是的，您可以根據您正在建模的市場在所選工具、債券或掉期上引導零曲線。您可以選擇樣條曲線或任何其他類型的插值，只要可以計算所需的導數即可。
作為旁注，如果您定義 $ x(t) = r(t) - f^M(0,t) $ 然後 SDE 為 $ x $ 是
$$ dx(t) = \left(-\kappa x(t) + \frac{\sigma^2}{2 \kappa}(1- e^{-2 \kappa t})\right) dt + \sigma dW(t) $$ 因此，在進行 MC 模擬或有限差分方案時，您可以使用 $ x(t) $ 作為狀態變數，然後簡單地添加 $ f^M(0,t) $ 獲得 $ r(t) $ ，所以實際上你確實需要計算 $ \frac{\partial f^M(0,t)}{\partial t} $ ，這意味著不能兩次可微但只能一次可微的零曲線插值方法（例如收益率線性或對數折扣線性）將產生 $ P^M(0,T) $ 和 $ f^M(0,t) $ 仍然可以與模型一起使用。