從收益率曲線為債券合約定價
在為學生開設特定的金融數學課程時，我在練習列表中看到了一個問題，上面寫著：
如何計算債券在 2010 年 12 月 15 日每年支付 2 次 11.04 % 票息的價格，知道付息天數是
Coupon date 1 15 March 2011 2 15 September 2011 3 15 March 2012 4 15 September 2012 5 15 March 2013 6 15 September 2013 7 15 March 2014 8 15 September 2014 9 15 March 2015 10 15 September 2015 11 15 March 2016 12 15 September 2016 13 15 March 2017 14 15 September 2017 15 15 March 2018 16 15 September 2018 17 15 March 2019 18 15 September 2019 19 15 March 2020並具有以下收益率曲線：
Yield curve Term (D) Rate 1 0.0051505 9 0.0051179 16 0.005344728 23 0.005602964 33 0.00560621 64 0.006237435 92 0.006553657 124 0.006818637 153 0.00702155 184 0.00721352 215 0.007444632 245 0.007695142 278 0.007965138 306 0.0082047 337 0.008453748 369 0.008692272 460 0.009484277 551 0.010313827 642 0.011160763 733 0.01202446 1098 0.015414247 1463 0.018648449 1828 0.02158657 2196 0.02408674 2560 0.026161802 2924 0.027907447 3289 0.029391256 3655 0.030649823我的背景更具理論性（機率等），並且您對我的問題所見的金融產品知識並不多。您能否幫助我了解如何以一種簡單易懂的實用方式計算它，以便為學生解釋。但首先對我來說，因為我缺乏實踐知識。
我知道如果我們有一個利率流程 $ (r_t)_{t\geq 0} $ 然後是當天的零息債券價格 $ t $ 成熟的 $ T $ 是（誰）給的 $ P_t = \mathbb E_t^{\mathbb Q}\left [exp(-\int^T_t r_s ds ) \right ] $ 在哪裡 $ \mathbb Q $ 是風險中性度量。那麼附息債券價格由下式給出
$$ P_0 = \sum_{i=1} ^n cP_0(T_i) + F P_0(T) =\sum_{i=1} ^n \rho F P_0(T_i) + F P_0(T) $$ 在哪裡 $ F $ 是面值， $ \rho $ 是預先分配的利息和 $ T_1\leq \cdots \leq T_n \leq T $ 是支付優惠券的日期。
我也知道Yelds是由
$$ R_t(T) = \frac{-ln P_t(T)} {T-t} $$ 自從 $ P_t(T) = \exp(-(T-t) R_t(T)) $ .
所以我應該只計算 $ P_o $ 通過這種關係還是我對收益率曲線的定義有誤？（我認為還有其他種類的收益對嗎？
另一個問題出來了。在尋找這個問題的答案時，我回顧了一些關於模型的理論材料，但也回顧了一些盜版的。在其中一個實用材料中，我看到使用遠期匯率而不是短期匯率來模擬股票現貨價格的路徑。在上下文中，它們的初始日期與我遇到的問題相同：收益率曲線。為什麼遠期利率比收益率曲線更適合短期利率（假設您在必要時對其進行插值以獲得更精確和平滑的近似值）？
我知道短期利率 $ r_t $ 是（誰）給的 $ r_t =\lim_{\tau \to t} f_t(\tau) =\lim_{\tau \to t} \nabla_\tau [R_t(\tau)(\tau-t)] $ （假設存在這些限制！）
提前感謝您的建議。
我認為你寫的是正確的。我會按照我的方式重新表述所有內容，給你另一個觀點。
息票債券當時的價格 $ t = 0 $ 是息票和票面價值的貼現現金流之和：
$$ P_0 = F \cdot D(0, T_n) + \sum_{i=1}^{n} 11.04% \cdot 0.5 \cdot F \cdot D(0, T_i) $$ 在哪裡 $ F $ 是面值， $ T_n = T $ 是債券的到期日， $ D $ 是貼現率。我認為這是最簡單的定義。關於公式的一些注意事項：
- 息票也在到期日支付，因此您可以假設 2020 年 3 月 15 日是債券的到期日；
- 通常，債券的票面利率以年利率表示，因此每 6 個月支付的利率是 $ 11.04% $ 和 $ 0.5 $ 因素是因為這個。
使用利率期限結構，貼現因子變得容易表達：
$$ P(0, T_n) = F \cdot \exp\left(- R_0(T_n) \cdot T_n\right) + \sum_{i=1}^{n} 11.04% \cdot 0.5 \cdot F \cdot \exp\left(- R_0(T_i) \cdot T_i\right) $$ 利率期限結構指定利率 $ R_0(T_i) = r_i $ 到每個成熟期 $ T_i $ ; 這些利率是使用您現在已經使用的公式從給定日期的零息債券的價格計算得出的（利率是 - 價格的對數除以時間段）。因此，在這種情況下，貼現因子和零息債券價格是相同的： $ D(0, T_i) = P(0, T_i) = P_0(T_i) $ （最後一個是你的符號）。費率 $ r_i $ ’s 通常稱為零利率或即期利率。
收益率曲線有所不同：它是根據 YTM 建構的，即到期收益率。YTM 是這樣的比率 $ r_1 = r_2 = \dots = r_n = YTM $ 和 $ P(0, T) $ 等於今天的市場價格。這意味著所有現金流都以相同的利率貼現（這在現實中也是不自然的：不同的利率適用於不同的期限）。每隻債券都有自己的 YTM，通常以年利率表示。
收益率曲線和期限結構僅對零息債券給出相同的值，因為沒有可折現的息票。如您所見，對於息票債券，含義完全不同。
你所說的“收益率”實際上是期限結構的即期利率。您的問題是在 2010 年 12 月 15 日的期限結構下計算債券價格（時間 $ t=0 $ ）。因此，您只需計算從 2010 年 12 月 15 日到每個付款日期之間的天數，將該數字與正確的利率代入公式中即可得到貼現因子，然後將所有內容相加即可得到息票債券價格。
– 編輯回答評論：
存在 0.5 因子的原因如下（另請參見上面的第二個要點）。通常，票面利率以年利率表示；因此，如果票面年利率為 11.04%，並且每年支付兩次票面，則標準做法是支付 $ 11.04% / 2 = 5.52% $ 面值每六個月。所以你得到 $ F \cdot 5.52% $ 每次的錢。如果您的優惠券已經表示為 6 個月的利率，那麼您不需要加上 0.5 因子。
債券的市場價格通常以面值 100 表示。我會選擇與標準做法保持一致。
最後，讓我們處理利率和期限。如果您沒有確切到期的利率，那麼您只能近似：*您可以採用期限結構中最接近到期的利率（如果差異小於 7 天，我認為您不會注意很大的差異）；您可以使用線性插值或樣條或任何其他技術進行近似； 高級模式：如果你有即時即期利率的動態（你指定的利率過程），你可以計算任何期限的利率；它仍然是一個近似值，因為它不存在於市場上。
通常，在練習中，天數與期限結構一致，因為債券定價的關鍵部分不是這個近似過程，而是使用正確的公式和正確的數字。