簡單回報與對數回報的分佈
我了解股票價格是通過關係使用對數正態分佈有條件地建模的
$ y_t/y_{t−1}∼logN(μ_{daily},σ^2_{daily}) $
$ y_t∼logN(log(y_{t-1})+μ_{daily},σ^2_{daily})) $
這意味著
$ log(y_t)∼N(log(y_{t−1})+μ_{daily},σ^2_{daily}) $ 然後 $ \frac{y_t−y_{t−1}}{y_{t−1}}≈log(y_t)−log(y_{t−1})∼N(μ_{daily},σ^2_{daily}) $ ….方程（1）
根據上述方程（1），收益可以近似為正態分佈（現在，我們將忽略 FAT TAIL 和其他問題）。
但是簡單的回報定義為 -1 < $ R_t $ < ∞, 因為價格總是 > 0
即簡單回報的最小值上限為 -100%（當 $ y_t $ 變為零，因此 $ \frac{y_t−y_{t−1}}{y_{t−1}} $ 變成-1)
這意味著簡單收益的機率密度函式 $ R_t $ 因為正態分佈是對稱的，所以永遠不可能是對稱的，這與上述等式（1）相矛盾。
請指導我在這裡缺少什麼。很明顯我在某個地方在邏輯上是錯誤的，但我無法弄清楚
讓我們從一個定義開始。
定義 統計量是數據的任何函式。
回報計算為$$ \text{Return}=\frac{\text{Future Value}}{\text{Present Value}}-1=R_t. $$
$$ \text{Present Value}=\text{Price}t\times\text{Quantity}t=p_tq_t. $$ $$ \text{Future Value}=\text{Price}{t+1}\times\text{Quantity}{t+1}=p_{t+1}q_{t+1}. $$
所以$$ R(p_t,p_{t+1},q_t,q_{t+1})=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t} $$
所以回報是價格和數量的函式。因此，您必須推導出分佈而不是假設分佈。它是一個統計量，就像學生的 t 分佈或 F 分佈一樣。幸運的是，這個問題的解決方案自 1941 年以來就在統計學領域為人所知。
如果你假設 $ q_t=q_{t+1} $ , $ p_t>0 $ 和 $ p_{t+1}>0, $ 然後你會得到一個截斷的分佈。你是對的，正態分佈不能是收益分佈。你沒有錯過任何東西。
使用拍賣理論並假設股息沒有影響，例如清算股息；沒有合併；破產或流動性成本的影響，那麼股權收益的分配必須是$$ \left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}. $$
由於兼併、破產、分紅、流動性成本的存在，實際分配是複雜的混合分配。同樣，其他拍賣結構，例如英式拍賣會產生不同的分配和不同的支付結構，例如債券產生不同的分配。
在金融中，您需要將位置中心轉換為均衡，以便 $ (0,0) $ 位於 $ p_t^,p^_{t+1} $ .
計算比率分佈的一般方法如下。
如果 $ Z=\frac{Y}{X} $ ，則累積分佈函式為 $ z $ 是 $ D(z)=\Pr(Z\le{z}). $
的密度函式 $ Z $ ，當變數在整個實數線上都有支持時，最終是$$ p(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f(x,zx)\mathrm{d}x. $$
股本證券回報遵循正態或對數正態分佈的*唯一可能方式是假設價格和數量不存在。*當然，這將使他們成為存款證明。如果您取消政府保險，不出所料，它們可以用正態或對數正態分佈建模，因為破產意味著可能不會發生支付的狀態。
柯蒂斯，JH（1941 年）。關於兩個機會變數的商的分佈。數理統計年鑑，12：409-421。
哈里斯，DE（2017）。收益分配。數學金融雜誌，7（3）：769-804。
馬薩利亞，G. (1965)。正態變數的比率和統一變數之和的比率。美國統計協會雜誌，60（309）：193-204。
您錯過了收益和價格的正態性和對數正態性正在簡化假設。檢查偏斜和峰度，更明顯的是它們是假設。
您的範例返回到 -100，但違反正態假設超過 +100 是微不足道的，特別是考慮到我們已經確定返回並不完全正常。在絕大多數情況下，這已經足夠了。