估計風險中性收益變異數
我正在嘗試找到一種允許我估算的方法 $ Var_{\mathbb{Q}}\left(\frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_i}}\right) $ 在哪裡 $ S $ 表示標的股票的價格過程（必須假設它是平穩的）和 $ \mathbb{Q} $ 應該是風險中性（定價）的衡量標準。第一種方法將依賴於 Breeden-Litzenberger (1978) 的結果，該結果能夠計算 $ \mathbb{Q} $ 通過觀察普通期權的價格並使用：
$$ Var_{\mathbb{Q}}\left(\frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_i}}\right)= \mathbb{E}\mathbb{Q}\left[\frac{1}{S{t_i}^2}\mathbb{E}\mathbb{Q}[S{t_{i+1}}^2|S_{t_i}]\right]-1. $$ 接下來，我得到 $ \mathbb{E}{\mathbb{Q}}[S{t_{i+1}}^2|S_{t_i}] $ 通過觀察當時的期權價格 $ t_i $ . 的價值 $ \mathbb{E}\mathbb{Q}\left[\frac{1}{S{t_i}^2}\right] $ 可以通過使用平穩性類似地計算。儘管如此，我對這種方法並不滿意。在談論估計時，我將面臨這些估計是在物理測量下進行的問題。有人知道在風險中性度量下估計收益變異數的方法嗎？ 對你的想法感到興奮，泰拉諾
只是嘗試（我不確定我是否很好地理解了這個問題）。
我將假設通常的風險中性動態 $ S_t $ :
$$ dS_t = rS_t dt + \sigma S_tdW_t $$ 以便 $ \forall T>t $ 我們有： $$ S_T = S_te^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t) + \sigma W_{T-t}} $$ 在這一點上，計算非常簡單直接。
$$ \mathbb{E}\left[ \frac{S_T}{S_t}\right] = e^{r(T-t)} $$ $$ \begin{align} \mathbb{E}\left[ \frac{S^2_T}{S^2_t}\right] &= \mathbb{E}\left[ e^{(2r - \sigma^2)(T-t) + 2\sigma W_{T-t}}\right] \ & = e^{(2r - \sigma^2)(T-t)} \mathbb{E}\left[ e^{2\sigma W_{T-t}}\right] \ & = e^{(2r - \sigma^2)(T-t) + 2\sigma^2(T-t)}\ & = e^{2r(T-t) + \sigma^2(T-t)} \end{align} $$ 這樣我們得到：
$$ Var\left( \frac{S_T}{S_t}\right) = e^{2r(T-t) + \sigma^2(T-t)} - e^{2r(T-t)} = e^{\sigma^2(T-t)} $$ 這是一般的結果。當然，如果我們把 $ T = t_{i+1} $ 和 $ t = t_i $ 我們得到了我們正在尋找的結果。
讓我在你的目標上潑一些水和任何好的證據。對於我關於此的文章，您可以在以下位置找到它：
哈里斯，DE（2017 年）收益分佈。數學金融雜誌, 7, 769-804
讓我們使用比您的假設更弱的假設 $ S_t,\forall{t} $ 是靜止的。讓我們使用更多馬科維茨風格的假設。
我們的第一個假設是有很多買家和很多賣家。通常這是為了激勵缺乏流動性成本，但我們將重新調整它的用途，因為它會產生其他沒有人注意到的後果。
股票以雙重拍賣方式出售。正因為如此，沒有贏家的詛咒。因此，理性的行為是出價於你的期望。隨著許多買家和許多賣家競標他們的預期，limit book 將收斂到正常，因此隨著投標數量變得足夠大，limit book 將呈正態分佈。
我們也可以假設股票價格是從正態分佈中得出的。該假設的弱點在於它不包括諸如佳士得拍賣會受制於贏家詛咒的事物。有關該問題的解決方案，請參見論文。
所以讓 $ R_t=\frac{S_{t+1}}{S_T} $ . 我們將其稱為投資回報。減一使其成為投資回報。我們將忽略 $ -1 $ 因為它沒有任何改變，只是一點點額外的工作。
現在的問題是什麼是分佈 $ R_t $ 作為 $ S_t,S_{t+1} $ 是實際數據，而 $ R_t $ 不是數據，而是統計數據；也就是說，它是數據的函式。
眾所周知，來自柯蒂斯：
Curtiss, JH (1941) 關於兩個機會變數的商的分佈。數理統計年鑑, 12, 409-421,
任意比例的連續隨機變數的解，其中 $ Z=\frac{Y}{X} $ 是
$$ p(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f(x,zx)\mathrm{d}x $$ 對於處於平衡狀態的正態分佈變數，解是眾所周知的，並且可以以各種形式追溯到費馬和卡爾達諾：$$ \frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(z-\mu)^2}. $$ 假設允許無限負回報。如果您限制域，則積分常數將從
$$ \pi^{-1} $$至$$ \left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}. $$ 就我們的目的而言，積分常數無關緊要，儘管如果您將其丟到現實世界中，它會在估計中產生嚴重錯誤。
上述發行版因多種原因而聞名。當拉普拉斯第一次將我們現在稱為“中心極限定理”的證明發送給他以前的學生泊鬆時，Poisson將證明返回給他，但規則成立時除外。當分佈如上時，它不成立。根據該觀察，當存在該分佈時，您將無法再使用 t 檢驗、F 檢驗等，前提是樣本量超過 100 時，t 檢驗將起作用，如果您保持一個自由度。
您可以在以下位置找到對此的討論：
Fama, EF 和 Roll, R. (1968)。對稱穩定分佈的一些性質。美國統計協會雜誌，63（323）：第 817-836 頁。
但是，Fama and Roll 的討論不適用於將責任限制在 $ -100% $ . 我正在為另一篇論文中的那些人建立一個單獨的討論。
這種分佈的下一次出現是奧古斯丁·柯西和艾琳妮-朱爾斯·比奈梅之間的戰鬥。Augustin Cauchy 剛剛在一篇期刊文章中提出了一種回歸方法。Bienaymé 撰寫了一篇文章，表明普通最小二乘法是進行回歸的“最佳”方法。Cauchy 將此視為人身攻擊，然後著手確定 OLS 何時總是以機率 1 失敗。
只要存在上述分佈，OLS 就會產生純粹的虛假結果。原因是上述被稱為“柯西分佈”的分佈沒有均值，因此不可能有變異數。
而柯西主值是 $ \mu $ ，不存在更高的矩，即使是關於柯西主值。第二個原始矩是無窮大或不存在，具體取決於您如何定義積分。
至於估計收益的尺度參數，你不能使用非貝氏方法。不存在真實數據的無偏可接受頻率估計量。我在另一篇論文中估計了所有分類股票證券的規模參數，但對於一個證券，你應該做的是解決：
$$ \Pr(\sigma|\mathbf{R},\mu)=\int_{-\infty}^\infty\frac{\prod_{i=1}^n{\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}}\frac{\sigma}{\sigma^2+(R_i-\mu)^2}\Pr(\mu;\sigma)}{\int_0^\infty\int_{-\infty}^\infty{\prod_{i=1}^n{\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}}\frac{\sigma}{\sigma^2+(R_i-\mu)^2}\Pr(\mu;\sigma)}\mathrm{d}\sigma\mathrm{d}\mu}\mathrm{d}\mu. $$ 後驗密度 $ \sigma $ 表現良好。如果您需要點估計，您可以最小化密度上的成本函式。您甚至應該能夠使用二次損失，因為對於足夠平坦的先驗，後驗密度應該收斂到兩個標準偏差分佈的比率分佈。然而，我還沒有花時間證明這一點。它可能不是真的，但它應該是 $ \sigma $ 是標準差的比率 $ S_{t+1} $ 和標準差 $ S_t $ .
你會想要限制你的先驗機率， $ \Pr(\mu,\sigma) $ 到適當的先驗，因為我沒有在文獻中找到針對截斷情況的廣義貝氏規則，並且沒有理由相信後驗在聯合分佈下表現良好 $ (\mu,\sigma) $ 與製服或其他不當的事前。
由此，足以證明均值變異數金融不存在。因此，任何 $ \beta $ 原始數據中的樣式模型無效。在對數轉換的數據中，概似函式是雙曲正割分佈並且它不允許任何類似於共變異數矩陣的東西，因此這是值得懷疑的。既然沒有什麼可以改變，那麼你在測量什麼？
這並不是說他們不能共同行動。在查看多個公司時，這些公司的回報不可能是獨立的，儘管它們都漸近地不能共變。這是使該發行版出名的部分原因。這些變數不是獨立的，但隨著樣本量趨於無窮大，它們不會共同變化。
最後，風險中性行為不能存在於邊際。我知道我讓你開心。
對此有兩個論據。第一個不是真正的論點，但應該暫停。如果您假設規避風險，那麼根據 deFinetti 連貫性原則和願意以規定價格接受所有有限賭注的假設，那麼 Kolmogorov 的公理就會成為定理。如果你不承擔風險規避，那麼這不會發生。然後，您必須添加以下假設：
$$ \Pr(A)\ge{0}, $$ $$ \Pr(\Omega)=1, $$對於任意不相交集的可數序列$$ \Pr(\cup_{i=1}^\infty{A_i})=\sum_{i=1}^\infty\Pr(A_i). $$ 當大自然提供了一種解決方案，既能最大限度地減少假設，又能經常與現實相匹配時，人們應該暫停一下。 第二個論點來自理性。如果邊際參與者喜歡冒險，那麼他們會支付溢價來承擔風險。這和說的一樣 $ K_{t+1}=RK_t+\epsilon_{t+1},R<1,\forall{t} $ . 如果有足夠的時間，地球的資本存量將歸零，所有人類都會死亡。
這並不意味著喜歡冒險的演員不存在，也不意味著他們永遠不是邊緣演員。這意味著他們只能在少數情況下成為邊緣行為者。
風險中性假設只是通過使用正態分佈創建的數學便利。從第二個論點來看，風險中性的機率必須為零。
就像這樣，風險中性恰好存在於某一時刻。連續可能點上的單個點測度為零，因此機率為零。即使這是真的，也永遠無法衡量，喜歡冒險的行為是不可能的。因此，由於需要使用貝氏統計，風險中性行為在功能上被排除在外。
有關柯西分佈的詳細討論，請參閱： 為什麼柯西分佈沒有均值