空頭頭寸回報的詹森不等式
這讓我很困惑。假設您有一項資產 A，在 t+1 日返回 1%，然後在 t+2 日再次返回 1%。
如果您在第 t 天向 A 投資 1 美元（做多頭頭寸），那麼在第 t+2 天您獲得了：
1*(1+0.01)*(1+0.01)-1 = 1.0201 - 1 = 2.01%
現在，資產 A 的空頭頭寸應在 t+1 天返回-1%，在 t+2 天返回-1%。因此，如果您在第 t 天持有 1 美元的 A 空頭頭寸，那麼在第 t+2 天您將獲得：
1*(1-0.01)*(1-0.01)-1 = 0.9801 - 1 = -1.99%
這兩個回報之間的大小差異是 Jensen 不等式。但真正讓我困惑的是，我認為從多頭頭寸中獲得的利潤應該完全被空頭頭寸的損失所抵消，否則你就是在無中生有地賺錢。我錯過了什麼？
簡而言之，這就是“變異數拖累”問題。你如何做空的機制很重要，它與關於槓桿/反向 ETF 的討論有關，這些 ETF 的行為與經典/普通頭寸不同。
考慮 XYZ 期貨價格為 100。一天后上漲 1%，達到 101。兩天后，它再次上漲 1%，達到 102.1。
如果我做多，我將獲得 2.1 的利潤。如果我做空，我必須在 102.1 的時候買回來，這是 2.1 的損失。它是平等的，也是相反的。不需要不等式。
持續且系統地利用槓桿（+1x 除外）的策略的問題在於它們必須重新平衡。否則，在第 1 天之後，它們將不再以與進入時相同的方式使用槓桿。
如果我做空 1 倍，那麼在第 1 天結束時，我的資產為 99，市場增量為 -101。我已經變成了 1.0202 倍的空頭。為了保持 1x 空頭，我必須回購 2，使我的資產為 99，第 2 天的敞口為 -99。你的“不平等”未能解釋這種調整。這裡的“缺失盈虧”是交易對手在第 2 天的盈虧。他在 2 的頭寸上上漲 1%，這等於您在上面的範例中缺失的 20 個基點。
這里通常的問題不是回報會消失在乙太中（出於上述原因）。它更通常表示為時間不匹配，這經常被（不）欣賞。
考慮一個 ABC 的未來。它每月有 50% 的上升或下降 10% 的機會。
所以這是一個：
- 25% 向上&向上的機會 = 121
- 50% 的上下機率 = 99
- 25% 的跌跌機率 = 81
NPV = 100，但很明顯，從長遠來看，預計 CAGR 為負，因為 1.1^0.5 * 0.9^0.5 <1。
要獲得零的預期復合年增長率，您必須相信 10% 的收益和 9.0909% 的損失的機會相同（即 1/(1+10%)）。無限頻繁地翻轉那個公平的硬幣，並且 E() = 1。
除外：25% * 121 + 50% * 100 + 25% * 82.6 = 1.009。幾何上公平的硬幣在算術上是有利的；而算術上公平的硬幣在幾何上是不利的。這是你真正的不平等。兩個平均值之間的差異是（不可避免的高斯警告）半 sigma 平方。因此，術語“變異數阻力”。
除了做空的目的，賣出指數期貨是在算術上，而買入反向 ETF 是在幾何上。它們是相關的，方向一致的；但不完全相同。
希望這是有道理的。