正常收益的正態性或對數正態性
這個網站上的另一個老問題（如何用幾何布朗運動模擬股票價格？）啟發我提出以下問題：如果我們假設正常收益可以是正態分佈的，那麼這是否完全使 GBM 模型背後的想法無效?
反之亦然，如果我們喜歡 GBM 模型並假設股票價格是對數正態分佈的，這是否意味著正常收益不能呈正態分佈？
具體來說：
讓我們表示 $ R_i $ 作為正常回報，讓我們假設這些是正態分佈的：
$$ R_i=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=\mu \Delta t + \sigma W(t) $$.
讓我們表示 $ r_i $ 作為對數返回，定義為 $ r_i = ln \left( \frac{S_{i+1}}{S_i} \right) $ . 然後：
$$ R_i = e^{r_i} - 1 $$
$$ r_i=ln(R_i+1) $$
如果我們假設 $ R_i $ 是正態分佈的，那麼 $ ln(R_i+1) $ 是未定義的，因為正態分佈產生負值並且 $ ln(negative) $ 未定義。
（編輯：根據下面的評論，我現在意識到這是一個“愚蠢”的想法，因為正常回報在 -1 以下微不足道，所以日誌永遠不會是負數：我最初只是專注於正常回報的假設想法正態分佈，即無界。
但是以下幾點仍然有效：如果 $ R_i $ 假設近似“正態”分佈，但從下方以 -1 為界，則 $ ln(R_1 +1) $ 仍然不會是對數正態分佈的，所以聲稱“假設 $ R_i $ 正態分佈使 GBM 模型的假設無效”仍然成立）。
因此，通過這種推理，GBM 模型的信徒會爭辯說：正常收益不可能是正態分佈的，因為我們喜歡股票價格是對數正態的想法（即，我們喜歡以今天的價值為條件的未來股票價格分佈是對數-正常：不能為負且沒有上限，這反映了我們對股票的預期行為）。因此，基於 GBM 模型，正則收益必須服從對數正態分佈（偏移“-1”）。
反過來推理，我很確定我已經看到一些論文（道歉，沒有連結並且不記得作者的名字）認為經驗證據表明正常回報是正態分佈的。實際上，只是一個快速的哲學思想：為什麼不應該呢？人們使用定期回報來查看投資，而不是記錄回報。乍一看，這些正常收益可以是負數也可以是正數，這似乎是明智的，大機率質量以零為中心（或通貨膨脹，如果 $ \mu $ =通貨膨脹）：即“正態”分佈。因此，如果我們認為定期收益是正態分佈的，那似乎會使 GBM 模型的想法無效。
你是對的，但 GBM 並不假設百分比回報是正態分佈的。這是關於日誌返回的。
- 如果日誌返回 $ r_t=\ln\left(\frac{S_{t+dt}}{S_t}\right) $ 是正態分佈的（GBM 假設），那麼 $ r_t $ 確實可以是具有正機率的任意大（正或負）數。這也意味著股票價格是對數正態分佈的。
- 現在讓 $ \tilde{R}t=e^{r_t}=\frac{S{t+dt}}{S_t} $ 是總回報，這顯然是正的。
- 讓 $ R_t=\tilde{R}_t-1 $ 是百分比回報率，其範圍為 $ -1 $ 從上面。
如果我們假設 $ \mathrm{d}S_t=\mu S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}B_t $ ， 我們知道 $ r_t $ 是正態分佈的。然而， $ R_t=f(r_t) $ 和 $ f(r)=e^r-1 $ 不是正態分佈的。只需導出分佈 $ R_t $ 並將其與對數正態密度進行比較。
因此，GBM 的假設不會導致百分比回報呈正態分佈。恰恰相反，它們的邊界為 $ -100% $ （您的損失不能超過您的投資）。所以， $ r_t=\ln(R_t+1) $ 只有在 $ R_t=-100% $ 但即使這在 GBM 世界中也不會真正發生：這將要求股票價格在未來為零（破產）。但是對數正態分佈的隨機變數的範圍是 $ (0,\infty) $ ，它必須是嚴格正數。因此，如果 $ r_t $ 是正常的（GBM 為真），那麼 $ R_t>-1 $ 和 $ r_t=\ln(R_t+1) $ 沒問題。
我最後一點
- 我一秒鐘都不會相信任何形式的回報都是正態分佈的（想想肥尾、不對稱、異變異數等）。早在 1960 年代，Mandelbrot 和 Fama 就已經研究過非正態分佈的回報……