證明 IRR(A) < IRR(A+B) < IRR(B) ？即兩條現金流加起來的IRR必須在兩條現金流的IRR範圍內？

問題

兩組現金流的內部收益率不是（必然）每組現金流的加權平均值。例如，如果

A = (-100,110)
B = (-80,100)
C = (-180,210)

然後

IRR(A) = 10%
IRR(B) = 25%
IRR(C) = 16.666%
unweighted average IRR = 17.5%
weighted average IRR = 20%

但是，是否有數學證明，總和的 IRR 必須在兩個 IRR 的範圍內，即

IRR(A) <= IRR(A+B) <= IRR(B) ?

直覺上，我明白了這個概念，但是否有一個通用的數學證明，不管現金流中的項目如何，即不管多項式的次數如何？

這裡有一個討論，但我不確定它是否完全回答了這個問題（或者，如果確實如此，我不確定我是否完全理解它），特別是對於一般情況，無論多項式的次數如何。

---

的背景

注意：以下僅用於顏色。

為什麼我需要這個？因為我需要證明一個項目的IRR+同一個項目後幾個時期開始的IRR和單個項目的IRR是一樣的，例如：

IRR(-100,0,121) = IRR(-100,0,121,-100,0,121)

我們看到

IRR(-100,0,121) = 10%

如果現金流在一段時間後開始，則可以證明 IRR 仍然相同：

IRR(0,0,0,-100,0,121) = 10%

在這個例子中，總和的 IRR 仍然相同，

IRR(-100,0,121,-100,0,121)= 10%

但是有數學證明嗎？ 證明

IRR(A) <= IRR(A+B) <= IRR(B)

會證明這一點，因為延遲現金流不會影響內部收益率。證明這一點非常簡單。假設現金流超過 3 個時期，IRR 是 i 解決：

$ a + \frac{b}{(1+i)} + \frac{c}{(1+i)^2} = 0 $

將其延遲一個週期僅意味著將每個項目除以 $ (1+i) $ :

$ 0 + \frac{a}{(1+i)} + \frac{b}{(1+i)^2} + \frac{c}{(1+i)^3} = 0 $

當然可以簡化。

所以，回顧一下，我們知道

IRR(A) = x
IRR(0,0,A) = x

如果我們可以證明 IRR(A) <= IRR(A+B) <= IRR(B) 那麼它遵循

IRR(A,0,A) = x , too

另一種寫法：

IRR(A) = x 和 IRR(0,0,A) = x 是：

PV(A;x)=0 和 PV(0,0,A;x)=0

其中 PV=現值，x 是貼現率。由於我們使用相同的折現率 x，我們可以將它們相加：

PV(A,0,A;x)=0 這意味著 IRR(A,0,A) = x

清楚嗎？

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/45350