收益變異數的單位是什麼？
我對收益變異數的單位有點困惑。一種計算方法是查看收益的單位-
$$ r=\frac{1}{\Delta t}\ln\frac{P(t+\Delta t)}{P(t)}=\text{Dimension }(\text{time})^{-1} $$ $$ \text{Cov}(r_i,r_j)=E[(r_i-\bar{r}_i)(r_j-\bar{r}_j)]=\text{Dimension }(\text{time})^{-2} $$ 但以上似乎不正確。對於初學者來說，變異數隨時間變化，即年變異數是月變異數的 12 倍（假設 iid 回報）。隨機微積分也告訴我們 $ \sigma $ 或標準偏差與 $ (\text{time})^{-1/2} $ . 我如何與上述相協調？
你的公式沒有什麼不正確的，所以讓我們看看你年化波動率時的單位。
例如，假設您有 252 個每日回報數據。它們的維度是 $ (time)^{-1} $ 並且它們的變異數在 $ (time)^{-2} $ （正如你已經說過的）。您可以在此處查看 Chris Taylor關於基本假設的回答，為什麼可以將波動率年化為
$$ \sigma_{\rm annual} = \sigma_{\rm daily} \times \sqrt{252}. $$ 事實上，比例因子 $ \sqrt{252} $ 用無單位表示。這源於中心極限定理：
當使用對數回報時，年化回報計算為 $ R_{year} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n $ 和 $ n=252 $ 每日日誌返回數據。每日收益數據的總和收斂於帶有參數的正態分佈 $ N\left( n \mu ,n\sigma_{daily} \right) $ ， 在哪裡 $ \mu $ 是每日收益的平均值。這個比例與因子 $ n $ 是在沒有任何單元的情況下完成的。所以在上面公式的兩邊都有單位 $ (time)^{-1} $ 對於回報的標準偏差和每日一個無量綱的 $ \sqrt{252} $ .
在統計意義上，因子 $ n $ 只是您觀察到的數據點的數量，儘管它們在金融微積分的背景下代表單個時間點。