為什麼我們可以假設資產收益率是正態（或對數正態）分佈的？
在許多金融數學理論中，假設資產收益率是正態分佈的（例如 VaR 模型）或對數正態分佈的（例如 Black-Scholes 模型）。在實踐中，資產收益率既不是正態分佈也不是對數正態分佈。通過下載選定資產價格的時間序列、計算選定的回報率並執行 Kolmogorov-Smirnov 檢驗或 Shapiro-Wilk 檢驗等統計檢驗，很容易進行檢查。也有關於這個話題的學術討論：
Kjersti Aas，“記錄或不記錄：資產回報的分佈”
抽象的：
“在衡量市場風險的背景下，隨機變數被視為一種金融資產的收益率。人們可以用不同的方式來定義收益率，最常見的兩種是算術收益率和幾何收益率。這兩者的區別收益的類型不是很清楚。它們經常被假設為近似相等。此外，它們都被假設為正態分佈。在本文中，我們解釋了差異。我們表明這兩種類型都不可能是正態分佈的，並且差異會擴大隨著金融資產波動性的增加和時間解析度的降低而變大。”
問題：
如果經驗和統計測試表明資產收益率不正確，為什麼我們可以假設資產收益率是正態分佈（或對數正態分佈）？怎麼可能有道理？
在“稱義”這個詞的通俗意義上，它是不稱義的。我將描述為什麼它在數學上是合理的，在什麼情況下以及在什麼情況下它是不合理的。
讓我從最簡單的方程式開始$$ \tilde{w}=R\bar{w}+\epsilon,\epsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2). $$ 讓我們假設這個方程是我們問題的一個元素。從靜態模型，它映射到 $ w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1}. $ 通過 Donsker 的尺度不變性，可以證明這反過來可以映射到連續時間模型，但我們不會在這裡這樣做，因為它不會為討論增加任何價值。
使用 Ito 或 Stratonovich 微積分，我們可以正確解決各種各樣的問題，儘管兩種微積分方法都假設所有參數都是已知的。這是一個非常重要的假設，因為上述方程在頻率公理內沒有解，並且與均值變異數金融保持一致。
要理解為什麼，如果 $ R $ 是未知的，那麼 Mann 和 Wald 已經證明最大概似估計量是任何 $ \epsilon $ 從任何以零為中心的具有定義的固定變異數的分佈中提取。但是，請注意，如果 $ R<1 $ ，那麼資本將歸零。如果 $ R=1 $ , 那麼可以得出 $ R $ 本質上是貨幣並且沒有利息，因此沒有人會“投資”它，儘管他們可能出於各種其他原因持有貨幣。一定是這樣的 $ R>1 $ .
期待正回報並不是一件令人驚訝的事情。估計器 $ R $ 是所有情況下的最小二乘估計量，因此它是 Fisher 基於概似的統計方法和 Pearson 和 Neyman 的頻率統計方法中的最佳估計量。到目前為止，一切都很好。
那麼問題就變成了，“什麼是抽樣分佈？ $ \hat{R} $ ？”
這就是問題所在。懷特在 1958 年能夠證明極限分佈是柯西分佈，它既沒有均值，也沒有變異數。任何使用最小二乘法都具有零功率來找到參數。
換句話說，如果均值變異數模型為真，則不存在以正功率對其進行測量的測試，因為可用的無分佈方法是泰爾多項式回歸和分位數回歸。兩者都是基於中值的。
因此，如果您假設正態性，則如果滿足所有假設（包括具有正態分佈的模型），則模型是有效的。在數學上，這些模型是有效的，但不適用於參數不確定的世界。
我提出了一種新的隨機演算，一階隨機支配 Ito 方法，但它現在正在同行評審中。如果它已發布，我會盡量記住回來發布。我放棄了 Ito 演算中參數已知的假設，並提出了貝氏和頻率論隨機演算。
如果參數未知，則可以推導出收益分佈。那是因為如果$$ r_t=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t}-1, $$然後 $ r $ 是價格和數量的函式，它們是數據。統計量的定義是數據的任何函式。因此，返回不是數據；它們是統計數據。應該導出它們的分佈。
作為 $ r $ 是價格比和數量比的乘積，那麼 $ r $ 是價格比率乘以存在狀態數量可以完成的總和。另請注意，我們只是忽略了股息和流動性成本。這是不明智的，但會使這篇文章變得很長很長。
存在狀態是破產的 $ q_{t+1}=0 $ , 現金換股票合併 $ q_{t+1}=w $ , 股票換股票合併 $ q^f_{t+1}=kq^j_{t+1}, $ 以及持續經營狀態 $ q_{t+1}=mq_t $ 在哪裡 $ m $ 更正拆分和股票股息。
其餘的涉及價格比率。通過將拍賣理論與契約或資產的條款和條件相結合，可以得出價格分佈。因此，古董的回報應該與股票不同，而股票的回報應該與債券不同。
根據拍賣理論，在均衡狀態下，我們知道在雙重拍賣中不存在贏家詛咒，因此最佳解決方案是每個投標人都出價他們的期望。很多期望的抽樣分佈是正態分佈。出於論證的目的，我忽略了市場疲軟，因為答案是一樣的，但需要另外 40 頁的證明。
如果我們將自己限制在以下情況 $ q_t=q_{t+1} $ 並強加一個過度限制的均衡假設，但同樣，這是一個話語長度問題，那麼收益是兩個正態分佈在-100％處截斷的比率。
如果通過將均衡價格轉換為 $ p_t-p_t^*,\forall{t} $ ，然後根據眾所周知的定理，收益的分佈將收斂到柯西分佈，儘管被截斷了。
對於持續經營的情況，收益分配，忽略股息和不修正流動性成本，必須是$$ \left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}-1. $$
如果你想測試它，我建議下載 Carnival Cruise Lines 的每日價格。建構週末的每日回報校正。建構貝氏後驗預測分佈，您會發現它幾乎完全與核密度估計重疊。
使用正態分佈的問題是柯西分佈沒有定義的第一或更高的時刻。其結果是估計 $ \beta $ 與任何有效的中值估計量相比，完全沒有冪並且具有完美的漸近相對低效率。
關於對數正態分佈，上面列出的所有內容仍然成立。因為對數正態模型可以從正態模型推導出來，所以沒有什麼不同。例如，您可以從資本資產定價模型推導出 Black-Scholes。這是因為，雖然正態分佈假設加性誤差，但通過注意差分方程和使用指數構造的模型之間的關係，它們可以隨著模型的變化而轉換為乘性誤差。
這種違反直覺的觀察確實取決於對參數的了解。當它們未知時，對數的凹性質會產生不同的結果。
看
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