效用函式的領域
我正在學習數學金融課程，講師沒有為我們提供實用函式的嚴格定義。
他只是向我們展示了（通過簡單的微積分）每個 CRRA 類型代理的效用函式是 $ u(x)=\ln x $ 或者 $ \frac{x^{\gamma -1}}{\gamma -1} $ ， 在哪裡 $ x $ 是所涉及的代理人的財富，並且 $ \gamma $ 是相對風險厭惡常數。
他還證明了每個 CARA 類型代理的效用函式是 $ u(x)=- \exp(-\alpha x) $ ， 在哪裡 $ x $ 是所涉及的代理人的財富，並且 $ \alpha $ 是絕對風險厭惡常數。
他沒有談論這兩種情況的域。
很明顯，域 $ - \exp(-\alpha x) $ 可 $ \mathbb R $ . 但是，如果在實際分析中受到限制，則 $ u(x)=\ln x $ 和 $ \frac{x^{\gamma -1}}{\gamma -1} $ 應該 $ \mathbb R^+ $ . 這導致我的問題是，如果不同的效用函式有不同的域？
備註：我們也可以定義 $ u(x)=\ln x $ 或者 $ \frac{x^{\gamma -1}}{\gamma -1} $ 上 $ \mathbb R^- $ 根據複雜分析的定義，但我想這是不希望的。
與往常一樣，答案在一定程度上取決於問題域。
通常，效用函式僅在偏好排序方面“有意義”，即
$$ B \succsim A \quad \Leftrightarrow \quad u(B)\geq u(A) \tag{1}\label{1} $$
如果代理弱偏好 $ B $ 超過 $ A $ ，那麼它們的效用 $ B $ 必須比 $ A $ .
有兩種類型的效用函式，基數和序數。兩者都將首選項映射到 $ \mathbb R $ （或它的某個子域）。基數理論將“效用”稱為可測量/可比較的數量，而在序數世界中（在大多數量化金融世界中隱含地發現，IMO），只有消費包/彩票的排序（即等級）是相關的。兩個世界都兼容 $ \eqref{1} $ ， 當然。
（在本次討論中）真正重要的是效用函式或效用函式的任何變換的單調性。越多越好，與效用函式的域無關——只要 $ \eqref{1} $ 很滿意。
HTH？