效用理論——確定性等價近似公式推導
我對 D. Luenberger, Investment Science, International Edition 第 9 章中的一個練習有疑問，我懷疑其中可能存在拼寫錯誤。
練習 8（確定性近似）
確定性等價物有一個有用的近似值，很容易推導出來。附近的二階展開 $ \bar x=E(x) $ 給$$ U(x)\approx U(\bar x)+U^{’}(\bar x)(x-\bar x)+\frac12U^{’’}(\bar x)(x-\bar x)^2 $$
因此，$$ E[U(x)]\approx U(\bar x)+\frac 12 U^{’’}(\bar x)var(x) $$ 另一方面，如果我們讓 c 表示確定性等價並假設它接近於 $ \bar x $ ，我們可以使用一階展開$$ U(c)\approx U(\bar x)+U^{’}(\bar x)(c-\bar x) $$ 使用這些近似值，證明$$ c \approx \bar x+{U^{’’}(\bar x) \over U^{’}(\bar x)}var(x) $$
現在，我使用了代數的一般方法以及以下事實 $ E[U(x)] = U(c) $ 直接表明$$ c \approx \bar x+\frac 12 ({U^{’’}(\bar x) \over U^{’}(\bar x)})var(x) $$如下：
取第三個方程並將其轉換為$$ c\approx \bar x + {U(c)-U(\bar x) \over U^{’}(\bar x)} $$ 現在我要做的就是證明分數部分的分子是 $ \frac 12 U^{’’}(\bar x)var(x) $ 這是通過把 $ E[U(x)] = U(c) $ 進入第二個公式，您可以立即看到結果。
在這項工作的基礎上，我寫了一個使用 log 效用函式的投資範例，並表明我對 c 的近似值有效，而書中沒有“2”的公式則沒有。
但是，我想在這裡發布所有這些內容，只是為了驗證這是書中的一個錯字，而不是我的一些誤解。
提前感謝您的任何回饋。
你的計算似乎是正確的。我在這裡找到了這份文件：http: //home.uchicago.edu/rmyerson/teaching/util206.pdf。你可以看到在 P10 中，確定性等價公式在那裡有 1/2 的因子。