效用理論 - 如何證明這個指數效用函式與財富無關？
我對 D. Luenberger, Investment Science, International Edition 的第 9 章中的以下練習有疑問。
練習 2（財富獨立）
假設投資者俱有指數效用函式 $ U(x) = -e^{-ax} $ 初始財富水平為 W。投資者面臨投資一定金額的機會 $ w \le W $ 並獲得隨機收益 $ x $ .
證明他對這一增量投資的評價獨立於 W.
我首先考慮的是投資後的效用是 $ -e^{-aW}*e^{-a(x-w)} $ 並且這是一個高於原始效用的因素 $ -e^{-aW} $ 與W無關，這就是解決方案。
然而，這並沒有真正考慮到 x 的隨機性。例如，我知道一個可能的例子，如果 $ x $ 僅取 2 個值，機率為 $ \frac{1}{2} $ 每個都可以證明 $ w $ ，要投資的絕對值金額，對於任何初始財富都是完全相同的 $ W $ .
因此，如果這個問題需要任何隨機回報的類似結果 $ x $ ，如果我不知道機率函式，我該怎麼做 $ x $ ?
也許我應該考慮 $ w $ 作為比例 $ W $ 然後以某種方式表明這等於某個常數 $ \frac{k}{W} $ 什麼時候 $ E(U(x)) $ 相對於最大化 $ x $ .
如果這是方法，您如何區分 $ E(U(x)) $ 關於 x?
如果您假設，答案相對簡單 $ x $ 是正態分佈的—— $ x \sim N(\mu_x,\sigma^2_x) $ . 如果 $ x $ 正態分佈然後最大化 $ U(x)=−e^{ax} $ 與最大化平均變異數效用相同： $ U = E(W) - 0.5a Var(W) $ .
現在鑑於：
$ E(W) = s\mu_x + (W-s) $ 在哪裡 $ s $ 是風險股票的金額，並且 $ W-s $ 是未投資的金額 - 這假設無風險利率為零。
$ Var(W) = s^2 \sigma^2_x $
以一階條件為： $ U = s\mu_x + (W-s) - 0.5a s^2 \sigma^2_x $ 並得到：
$ \mu_x - a s \sigma^2_x = 0 $ . 所以 ： $ s = \frac{\mu_x}{a\sigma^2_x} $
哪個不取決於初始財富 qed
編輯： 按照下面的評論讓我們在不假設正常的情況下展示它：
表示投資於風險資產的金額 $ \theta $ 和初始財富水平 $ W $ ，代理的期望效用為： $ U = \int \exp(-a[(W-\theta)Rf + \theta x])f(x)dx = \int \exp(-aWRf) \exp[-a\theta(x-Rf)]f(x)dx = \exp[-aWR_f]\int \exp[-a\theta(x-R_f)]f(x)dx $
所以問題的解決方案與初始財富無關（只需關注上面的等式並註意 $ W $ 不顯示）。