Cobb-Douglas 偏好是同位的嗎？
如果以下情況屬實，我們的講座將偏好定義為同類：
$$ (x_1, x_2) \thicksim (y_1, y_2) \Leftrightarrow (kx_1, kx_2) \thicksim (ky_1, ky_2) $$ Cobb-Douglas偏好可以顯示為以下形式的一些效用函式：
$$ u(x_1, x_2) = x_1^a \cdot x_2^b $$ 所以： $$ (x_1, x_2) \thicksim (y_1, y_2) \ \Leftrightarrow x_1^a \cdot x_2^b = y_1^a \cdot y_2^b \ \Leftrightarrow k^ax_1^a \cdot k^bx_2^b = k^ay_1^a \cdot k^by_2^b \ \Leftrightarrow (kx_1, kx_2) \thicksim (ky_1, ky_2) $$ 有了這個論證，Cobb-Douglas 的偏好應該是相似的。
然而，關於Homothetic 偏好的維基百科文章將偏好定義為homothetic，如果它們可以用效用函式表示並且以下情況屬實：
$$ u(kx_1, kx_2) = k \cdot u(x_1, x_2) $$ 而且我很確定，對於Cobb Douglas的偏好來說，情況並非如此： $$ u(kx_1, kx_2) = (kx_1)^a (kx_2)^b = k^{a+b} x_1^a x_2^b \neq k \cdot u(x_1, x_2) $$ 那麼我在這裡錯過了什麼？定義不相等嗎？我計算錯了嗎？
請注意，維基百科文章 非常具體：
$$ … $$如果它們可以由效用函式表示**，則將偏好定義為相似的**$$ … $$
您選擇了一個特定的效用函式來表示您的 Cobb-Douglas 偏好。然而還有無數其他的。效用函式的所有單調變換都代表相同的偏好。拿 $$ \hat{u}(x_1,x_2) = \left(u(x_1,x_2)\right)^{\frac{1}{a+b}} = x_1^{\frac{a}{a+b}} \cdot x_2^{\frac{b}{a+b}}. $$ 作為 $ \hat{u} $ 是一個單調變換 $ u $ ，它代表相同的偏好。檢查很簡單 $ \hat{u} $ 滿足 wiki 文章中規定的條件。所以確實有這樣一個效用函式，它也代表了偏好，因此偏好是同位的。