計算 Epstein-Zin 偏好的替代彈性
$$ \newcommand{\E}{\mathbb{E}} $$ 給定一個消費序列 $ C=(C_0, C_1,…) $ 然後讓 $ C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, …) $ . 現在，假設我有 Epstein-Zin 偏好， $$ \begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \ U_t &= \left {(1-\beta) C_t^{1-\rho}
- \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ f $ 是時間聚合器並且 $ q $ 是條件確定性等價運算符。那是， $$ f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}} $$ 和 $$ q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}. $$ 如何證明跨期替代彈性是 $ \rho^{-1} $ ?
$ \newcommand{\dd}{, \mathrm{d}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} $ 這是我的解決方案。讓我知道是否有人有更清潔/更清晰的方法。
考慮一個固定（非隨機）的消費序列 $ C = (C_0, C_1,…) $ . 然後，跨期替代彈性（EIS）定義為
$$ \text{EIS} = \left| \frac{\dd \ln(C_s/C_t)}{\dd \ln MRS_{s,t}}\right| = \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \right |. $$ 為了計算這個數字，讓我們從計算開始 $$ \begin{align*} \pd{U_t}{C_t} &= f_c(C_t, q_t(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \ &= \frac{1}{1-\rho} \left( (1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho} \right)^{\frac{\rho}{1-\rho}} (1-\beta) (1-\rho) C_t^{-\rho} \ &= (1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}. \end{align*} $$ 還， $$ \begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}}. \end{align*} $$ 分段計算這些部分會更容易。第一的， $$ f_q = \beta f^{\rho} q_t^{-\rho}. $$ 接下來，考慮 $ \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} $ . 這簡化了以下事實： $ C $ 是非隨機的， $$ \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} = q_t^\gamma U_{t+1}^{-\gamma} = 1. $$ 最後， $$ \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} = (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}, $$ 這是我們之前的計算得出的。因此， $$ \begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} \ &= \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ f_t = f(C_t, q_t) $ 和 $ q_t = q(U_{t+1}(C_{t+1}^+)) $ . 現在，我們可以計算 $$ \begin{align*} \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} &= \frac { \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}} {(1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}} \ &= \beta q_t^{-\rho} f_{t+1}^{\rho} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\rho}\ \end{align*} $$ 現在，讓 $$ \frac{p_{t+1}}{p_t} = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t}. $$ 然後，取微分， $$ \dd \left(\frac{p_t}{p_0}\right) = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-1} (-\rho) \dd \frac{C_{t+1}}{C_t}. $$ 所以， $$ \begin{align*} \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} &= \left( \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-1} (-\rho) \right)^{-1} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \ &= -\frac{\frac{C_{t+1}}{C_t} \frac{p_{t+1}}{p_t}} {\frac{p_{t+1}}{p_t} \frac{C_{t+1}}{C_t}} \rho^{-1} = -\rho^{-1}. \end{align*} $$ 現在，將其插入 EIS 的定義中， $$ \begin{align*} \text{EIS} &= \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \right | \ &= \left| \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \right| \ &= \rho^{-1}. \end{align*} $$
通過使用緊湊的符號，以及對微分符號的粗體處理 $ \text{d} $ ，我認為你可以顯著縮短這一點。
從數學上講，這是一個雙變數 CES 函式，因此我們知道兩個參數之間的替代彈性將是恆定的，無論它們是什麼。
$$ f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}} = \left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}} $$ 然後
$$ \frac {\partial f}{\partial c} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_c $$ 和
$$ \frac {\partial f}{\partial q} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_q $$ 所以
$$ \frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q} = \frac{h_c}{h_q} = \frac {(1-\beta)}{\beta}\cdot (c/q)^{-\rho} $$ 更遠
$$ \ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right) = \ln\frac {(1-\beta)}{\beta} -\rho\ln (c/q) $$ $$ \implies \text{d}\left[\ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right)\right] = -\rho\cdot \text{d},\ln (c/q) $$ 因為第一項是常數。所以最後，
$$ \text{EIS} = \left|\frac{\text{d}, \ln \left(c/q\right)} {\text{d}, \ln \left( \frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right)} \right | $$ $$ =\left|\frac{\text{d}, \ln \left(c/q\right)} {-\rho\cdot \text{d},\ln (c/q)} \right | = \rho^{-1} $$ 不要告訴你的數學家朋友，而要告訴萊布尼茨。