對財富的持續相對風險規避從消極到積極
我正在模擬可能涉及所有實數財富的場景，並且我假設恆定的相對風險規避。我需要為不同的風險厭惡程度建模場景，但我找不到合適的實用函式。我閱讀了一些資料，似乎具有恆定的相對風險厭惡情緒，我們通常使用效用函式： $$ U(W) = \frac{W^{1-r}}{1-r} $$ 但是（1）效用函式沒有定義在 $ W=0 $ 每當 $ r>1 $ , (2) 效用從負變為正 $ W $ 如果從正面變為負面 $ r $ 是偶數。
我讀到了相對風險厭惡的定義是如何從這篇文章中得出的，我不確定它的物理意義是否允許這樣的效用函式。
所以我的問題是（1）這樣的效用函式存在嗎？(2) 一個例子。
恐怕答案是否定的。讓我們採用任何連續且嚴格遞增的效用函式 $ U(W) $ 幾乎在實數上的任何地方都可以兩次微分。恆定相對風險厭惡（CRRA）定義為 $ -W\frac{U’’}{U’}\equiv r $ . 限制為 $ r>1 $ 和 $ W>0 $ 目前意味著 $ \frac{U’’}{U’}=-\frac{r}{W} $ 因此 $ \left(\log U’\right)’=-r(\log W)’=(\log W^{-r})’ $ , 暗示 $ \log U’=c+\log W^{-r} $ 對於一些常數 $ c $ . 這給 $ U’=CW^{-r} $ 對於一些常數 $ C>0 $ 最後 $ U=C\frac{W^{1-r}}{1-r}+K $ 對於一些常數 $ C>0 $ 和 $ K $ .
因此，直到正仿射變換，您的“通常”效用函式 $ U(W)=\frac{W^{1-r}}{1-r} $ 確實是唯一一個展示CRRA的。但是這個功能去 $ -\infty $ 為了 $ W\searrow 0 $ ，因此它不能繼續為負值 $ W $ . 因此，您必須將實用功能限制為 $ r\le 1 $ 或者 $ W>0 $ .