資產定價中的持續價值與效用
延續值（ $ V_t $ ) 和實用程序 ( $ U_t $ ) 除了可能的縮放/單位差異？我的問題是指基於消費的資產定價文獻。
在標準時間附加功率效用設置中，人們似乎只談論效用（例如 $ U_t=u(C_t)+\beta E_t[u(C_{t+1}] $ ）。在遞歸效用 / Epstein-Zin-Weil 設置中，人們經常引用延續值（例如 $ V_t=((1-\beta)C_t^{1-\rho}+\beta (\mathcal{R}t(V{t+1}))^{1-\rho})^{1/(1-\rho)} $ ).
在我看來，兩者都非常相似。我能找到的關於該主題的唯一參考資料是 Back (2010) 中的資產定價書，其中（直覺定義）效用似乎是“效用單位”中的效用度量，而持續價值似乎是“消費”中的效用度量好單位”，兩者都通過 $ U_t=u(V_t)=\frac{V_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} $ .
（請注意：Back 令人困惑地談到了延續實用程序並使用了不同的符號，此處發布的符號繼承自標準參考文獻。此外，您可以通過此連結找到他的書。）
術語“持續價值”通常用於指代未來期間效用的集合。如果是 $ U_t = u(C_t) + \beta E_t[u(C_{t+1})] $ , $ u_t $ 是每個時期的效用流量，並且 $ U_t $ 是一個集合 $ u_t $ 在所有時間段內 $ t $ 和 $ t+1 $ . 數量 $ \beta E_t[u(C_{t+1})] $ 是預期的連續貼現值，單位與 $ u(C_t) $ .
遞歸實用程序的工作方式類似。不同之處在於多個時間段的效用不容易匯總。在預期效用案例中，它使用預期的加權總和進行匯總。為了看到這一點，我將展示如何以遞歸形式編寫預期的效用函式。這應該使遞歸效用討論中使用的延續值更容易理解。
再次，讓 $ u_t $ 是每個時期的效用流量。假設 $ U_t $ 是一個集合 $ u_t $ 從時間的所有時間段 $ t $ 進入未來。有時 $ u_t $ 被稱為“每期效用函式”。及時做出決策的經濟行為者 $ t $ 最大化 $ U_t $ ， 在哪裡 $ u_\tau $ 為了 $ \tau = t, t+1, t+2,… $ 只是組成的組件 $ U_t $ …… 考慮 CRRA 實用程序的情況： $$ U_0 \equiv E_0 \sum_{t=0}^\infty \beta^t \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}. $$ 讓 $ u_t = \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} $ 然後讓 $$ U_t = E_t \sum_{\tau=t}^\infty \beta^{\tau-t} \frac{C_\tau^{1-\gamma}}{1-\gamma}. $$ 然後， $$ U_t = E_t \sum_{\tau=t}^\infty \beta^{\tau-t} u_\tau $$ 我們可以在這裡遞歸地表示效用， $$ U_t = u_t + \beta U_{t+1}. $$ 在 CRRA 的預期效用案例中， $ U_t $ 只是未來每期效用的加權和。Epstein-Zin 效用是一種情況，其中 $ U_t $ 是未來每期效用的總和，但不能表示為簡單的加權總和。相當， $ U_t=((1-\beta)C_t^{1-\rho}+\beta (\mathcal{R}t(U{t+1}))^{1-\rho})^{1/(1-\rho)} $ ， 在哪裡 $ \mathcal R $ 是“確定性等價”運算符。
我無法談論 Back 的用法（我無法通過連結訪問這本書），但總的來說，我相信“效用函式”是指該術語的標準含義（代理試圖最大化的最終功能） )，而“持續值”是指下一個時期求解的貝爾曼方程。
在求解最優條件後，可以在Peter Ireland 的第 3 節（範例 2）的這組註釋中找到同時出現的“效用函式”和“價值函式”的更抽象範例。