來自 Cobb-Douglas 實用程序、解釋、檢查的需求
在給定 Cobb-Douglas 效用函式的情況下，我得出了需求，但我不確定我是否做得正確。我特別為和符號和下標苦苦掙扎 $ i $ & $ j $ . 如果有人可以檢查，那就太好了。我想最大化兩種商品的效用，在這裡 $ j $ 和 $ i $ .
$ \ u(x_i)=\prod_{i=1}^n x^a_i $
$ \ s.t.:M=\sum_{j=1}^n p_jx_j $
$ \ L= \sum_{i=1}^n a_ilogx_i+\lambda(M-\sum_{j=1}^np_jx_j) $
$ (1)\frac{\partial L}{\partial x_i} = \frac{a_i}{ x_i}-\lambda p_i=0 $
$ (2)\frac{\partial L}{\partial x_j} = \frac{a_j}{ x_j}-\lambda p_j=0 $
$ (3)\frac{\partial L}{\partial \lambda} = M-\sum_{j=1}^np_jx_j=0 $
從 (1) 和 (2) 可以得出：
$ \frac{p_i}{x_i} = \frac{a_i/x_i}{a_j/x_j}=\frac{a_ix_j}{a_jx_i} $
$ x_j = \frac{p_ja_jx_i}{p_ja_j} $
$ x_j $ 進入 (3)
$ M = \sum_{j=1}^np_j(\frac{p_ja_jx_i}{p_j/a_j})=0 $
$ x_i= \frac{a_iM}{\sum_{j=1}^na_jp_j} $
此外，我想解釋一下如果我們永遠受到效率衝擊會發生什麼 $ i $ . 意思是好的 $ i $ 變得更便宜。這導致相對收入的增加。所以 $ M $ 增加導致對商品的需求增加 $ x_i $ ，其餘保持不變。那是對的嗎？
從（1）和（2）你得到 $$ \frac{x_j}{x_i}=\frac{a_j p_i}{a_i p_j}, $$ 或等效地， $$ x_j =\frac{a_j p_i}{a_i p_j} x_i. $$ 將其代入等式 3 $ j=2,…,n $ 和 $ i=1 $ （求解商品 1 的需求函式）我們得到 $$ M=p_1x_1 + \sum_{j=2}^n p_j \frac{a_j p_1}{a_1 p_j} x_1 $$ $$ M=p_1x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_j p_1}{a_1} x_1 $$ $$ M=p_1x_1 + \frac{p_1}{a_1} x_1\sum_{j=2}^n a_j $$ $$ M=p_1x_1(1 + \frac{1}{a_1}\sum_{j=2}^n a_j). $$ 最後，求解 $ x_1 $ 我們得到 $$ x_1^* = \frac{M}{p_1}(1+ \frac{\sum_{j=2}^n a_j}{a_1})^{-1} $$ $$ x_1^* =\frac{a_1}{\sum_{j=1}^n a_j} \frac{M}{p_1}. $$
類似地， $$ x_i^*=\frac{a_i}{\sum_{j=1}^n a_j} \frac{M}{p_i}, $$ 為了 $ i=1,…,n $ .
與從 Cobb-Douglas 效用函式導出的需求函式一樣，消費者在每種商品上花費的收入份額是恆定的。要看到這一點，請重新排列前面的等式以獲得 $$ p_ix_i^*=\frac{a_i}{\sum_{j=1}^n a_j} M, $$ 為了 $ i=1,…,n $ .