從 Cobb-Douglas 效用推導出需求曲線
可能是一個愚蠢的問題，但我從一般的 Cobb-Douglas 效用函式推導出了一個需求曲線方程$$ U(x,y)=\beta x^{\alpha}y^{1-\alpha} $$給定預算約束$$ M=xP_x+yP_y $$並發現數量 $ x $ 要求將是$$ x=\frac{\alpha M}{P_x} $$.
令我驚訝的是，這個功能與商品的價格無關 $ y $ . 我在這些頁面上看到一些參考資料表明我沒有犯任何嚴重的錯誤，但我的基本理解是需求曲線是許多事物的函式，尤其是其他相關商品的價格。現在肯定貨 $ x $ 和 $ y $ 在某種程度上是替代品嗎？
現在，我的問題是，我對此的理解是否基本正確，什麼樣的效用函式會產生需求曲線 $ x=f(P_x, P_y, M, etc) $ ?
謝謝
如果您採用一般類別的 CES 效用函式，其中 Cobb-Douglas 是一個特例，您確實會得到一個依賴於其他價格的需求函式。具體來說，CES 效用函式（超過 $ n $ 商品， $ x_1,\dots,x_n $ ) 採取形式 $$ \begin{equation} u(x_1,\dots,x_n)=\bigl[\alpha_1x_1^\rho+\cdots+\alpha_nx_n^\rho\bigr]^{1/\rho}, \end{equation} $$ 在哪裡 $ \rho\in(-\infty,1]\setminus{0} $ , $ \alpha_i\in[0,1] $ 和 $ \sum_i\alpha_i=1 $ . 我們解讀 $ \alpha_i $ 作為商品的消費份額 $ i $ 和 $ \sigma\equiv\frac{1}{1-\rho} $ 為不變的替代彈性。另請注意，當 $ \sigma=1 $ （或者 $ \rho\to0 $ )，我們得到 Cobb-Douglas 效用形式。
在通常的預算約束下求解效用最大化，我們得到對商品的需求 $ i $ 作為 $$ \begin{equation} x_i(p_1,\dots,p_n,M)=\frac{M(\alpha_i/p_i)^\sigma}{\sum_{j=1}^n\alpha_j^\sigma p_j^{1-\sigma}},\quad i=1,\dots,n. \end{equation} $$ 再次觀察，當 $ \sigma=1 $ 我們得到與 Cobb-Douglas 效用相關的需求。
替代彈性決定了不同商品的相對支出如何隨著相對價格的變化而變化。舉兩個好例子。相對價格上漲 $ p_1/p_2 $ ，即商品 1 變得相對更貴，同時導致兩種影響：
- 商品 1 的單位支出增加，因為商品 1 現在相對而言成本更高；和
- 由於需求規律，商品 1 的需求量減少。
相對於商品 2，這些對商品 1 的支出的影響是相反的。事實證明，替代彈性決定了哪種影響占主導地位。如果 $ \sigma>1 $ ，第二個效應占主導地位，如果 $ \sigma<1 $ ，第一個效應占主導地位。什麼時候 $ \sigma=1 $ ，這就是 Cobb-Douglas 的情況，這兩種效應完全相互抵消，因此相對支出與相對價格無關，僅取決於偏好參數（ $ \alpha_i $ 的）。
當然，CES 效用並不是唯一一類產生依賴於其他商品價格的需求的效用函式。效用函式的另一種常見形式，準線性效用函式， $$ \begin{equation} u(x_1,\dots,x_n)=x_1+v(x_2,\dots,x_n), \end{equation} $$ 在哪裡 $ v(\cdot) $ 是嚴格增加和嚴格凹的，也產生依賴於其他價格的需求函式。一個常見的例子是 $ u(x_1,x_2)=x_1+2\sqrt{x_2} $ . 我相信您可以驗證兩者 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 取決於兩個價格 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ .