規模報酬不變的新古典生產是否意味著柯布-道格拉斯類型
假設新古典生產函式$$ F(K,L)\colon [0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty) $$兩次連續可微，即F是單調遞增和凹的，即， $$ \partial F(\bar K,\bar L) /\partial K > 0, \quad \partial F(\bar K,\bar L) /\partial L > 0,\ \partial^2 F(\bar K,\bar L) /\partial K^2 < 0, \quad \partial^2 F(\bar K,\bar L) /\partial L^2 < 0, $$持有，即， $ F $ 收益遞減，對所有人 $ \bar K, \bar L \in (0,\infty) $ . 此外，稻田條件成立，即 $$ \lim_{K\to 0} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial K = \infty, \quad \lim_{K\to \infty} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial K = 0,\ \lim_{L\to 0} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial L = \infty, \quad \lim_{L\to \infty} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial L = 0 $$ 對所有人 $ \bar K, \bar L \in (0,\infty) $ . 最後 $ F $ 產生恆定的規模回報，即 $ F $ 度數為正齊次 $ 1 $ ， 那是， $ F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K,L) $ 對所有人 $ \lambda \in (0,\infty) $ 和 $ K,L \in [0,\infty) $ .
我知道 Barelli 和 Pessôa 的論文“Inada 條件意味著生產函式必須是漸近 Cobb-Douglas”。
所以具有單調性和凹性的 Inada 條件暗示了每一個的漸近 Cobb-Douglas 行為 $ F $ 滿足這些條件。然而，這個論點並沒有強加一個恆定的規模收益假設。
**問題是：**收益遞減+稻田條件+規模收益不變是否唯一確定 $ F $ 如給出的 $$ F(K,L) = c K^\alpha L^{1-\alpha} $$ 和 $ c \in (0,\infty) $ 和 $ \alpha \in (0,1) $ ?
我知道在一維中沒有恆定的規模回報，即效用函式兩次連續可微，單調遞增和凹並滿足 Inada 條件，我們可以選擇兩個函式，例如， $ \tilde u(c) $ 和 $ \bar u(c) $ ， 和 $ \tilde u \neq \bar u $ ， 在哪裡 $ \tilde u(c_0) = \bar u(c_0) $ , $ \tilde u’(c_0) = \bar u’(c_0) $ ， 和 $ \tilde u’’(c_0) = \bar u’’(c_0) $ 持有。然後是分段定義的函式$$ u(c) = \begin{cases}\tilde u(c), & c \le c_0 \ \bar u(c) & c > c_0\end{cases} $$也單調增加和凹入並滿足 Inada 條件（並且顯然兩次連續可微）。
不知何故，我覺得規模收益的不斷增加迫使這種分段的“技巧”不起作用。但是我無法找到有關生產函式的這些新古典條件是否暗示科布-道格拉斯類型的資訊。
$ F(K, L) = K^{\frac{1}{4}}L^\frac{3}{4}+K^{\frac{3}{4}}L^\frac{1}{4} $