變換下序數效用與基數效用的相等性——誰首先做出了區分？
在確定性下項目或選擇之間的偏好的上下文中，我們可以認為序數值函式（即效用函式）在單調遞增的變換下是等價的 $ u(x)\equiv F(u(x)) $ 為嚴格遞增函式 $ F $ , 但基值函式僅線上性變換下，即 $ u(x)\equiv a u(x)+b $ 為正 $ a $ 和常數 $ b $ .
為添加對經濟學哲學文章的引用，我想知道誰第一次展示這個，在哪裡展示？馮諾依曼和摩根斯坦（1947）？德布魯（1960）？或者這只是“民間傳說”？
我知道經濟學中效用的歷史、19 世紀的主要方法以及帕累托、薩繆爾森等人向序數表示的轉變。但對於上述區別，我找不到一個好的“第一”參考。
它似乎是John von Neumann 和 Oskar Morgenstern 的《博弈論和經濟行為》（1944 年）。我有 1953 年的版本，它被算作“3d”，但是通過閱讀包含的對 2nd 和 3d 版本的介紹，似乎在第 3 章中沒有任何實質內容髮生變化，我將等效問題定位到線性變換。
在第 3.4 小節中，作者一般性地討論了任何數量系統的變換下的等價問題，主要來自物理學。他們以寫作結束這一小節（我的重點是粗體）
“人們可能會認為，這個領域（效用）中唯一的“自然”數據是“更大”關係，即偏好的概念。在這種情況下，效用是單調變換的數值。這確實是經濟學文獻中普遍接受的觀點，最好用無差異曲線技術來表達。縮小轉換系統有必要在效用領域發現更多的“自然”操作或關係。因此，Pareto 指出（in V. Pareto, Manuel d’Economie Politique, Paris, 1907, p. 264），效用差異的等式關係就足夠了；用我們的術語來說，它會將變換系統簡化為線性變換。然而，由於這種關係似乎並不是真正的“自然”關係——即可以通過可重複的觀察來解釋的關係——所以這個建議沒有達到目的。”
**在第 3.5 小節中，**他們首先編寫
“一個特定設備的故障不必排除另一個設備實現相同目的的可能性。**我們的論點是效用領域包含一個“自然”操作，它將轉換系統縮小到與另一個設備完全相同的程度會做（）**。這是兩個實用程序與兩個給定的替代機率的組合 $ a, 1 — a, (0 < a < 1) $ 如 3.3.2 所述。這個過程非常類似於 3.4.3 中提到的重心的形成。使用相同的術語可能是有利的。*"
(*)注：“某一特定設備的故障”是指上一段中提到的帕累托建議。所以他們在這裡說的是，除了序數偏好之外，還有另一種與效用相關的“自然操作”（但不是帕累托建議的那種），儘管如此，它仍將達到與帕累托建議相同的目的，即縮小只允許線性變換。
這是什麼“自然操作”？
“……兩個實用程序與兩個給定的替代機率的組合 $ a, 1 — a, (0 < a < 1) $ "
這將我們帶入了預期效用的世界。
接下來是詳細資訊，以及本書末尾的附錄“效用的公理化處理”。
**PS：**通過拒絕帕累託的建議，作者明確表示預期效用不是基數效用，因為他們拒絕的是“效用差異之間的相等關係”的存在。這種拒絕從根本上保留了預期效用的序數性質。