從單使用者多單元到多使用者單單元
當我學習消費者理論時，經濟總是只有一個消費者，用單調的正效用函式表示 $ u(x,y) $ 和收入 $ I $ . 給定價格 $ p_x $ 和 $ p_y $ , 可以計算出消費者對產品的需求 $ x $ 和 $ y $ .
現在，我處理的是一種不同類型的經濟：有很多消費者，他們每個人都只想要一種產品。每個消費者由三個正值表示： $ u_x $ （用於擁有的實用程序 $ x $ ), $ u_y $ （用於擁有的實用程序 $ y $ ） 和 $ u_{xy} \geq \max(u_x,u_y) $ （同時擁有的實用程序 $ x $ 和 $ y $ ）。給定價格 $ p_x $ 和 $ p_y $ , 每個消費者都購買 $ x $ 或者 $ y $ 或兩者兼有，以最高淨效用（產品效用減去價格）為準。因此可以計算出總需求 $ x $ 和 $ y $ .
我的問題是：這兩種經濟體之間是否有一種自然/標準的轉換方式？
即，給定一個效用函式 $ u(x,y) $ 和收入 $ I $ 對於單個消費者，是否有可能構造一組具有不同的消費者？ $ u_x $ , $ u_y $ 和 $ u_{xy} $ , 這樣兩個經濟體的需求曲線是否相同？
累積分佈函式 (CDF) 描述了具有給定機率分佈的隨機變數 X 的值小於或等於 x 的機率。那是：
$$ F_X(x) = P(X \leq x) $$ 在這種情況下，想想 $ X $ 作為對特定單位需求者的估價。需求以一定的機率分佈分佈。所以 CDF 告訴你隨機抽取的需求者的估值至少與 $ x $ . 如果每個人都需要一個單位，如果價格 $ p \leq X $ 否則為 0，那麼這也給出了一個需求函式：
$$ Q_d(p) = P(X \geq p) = 1 - P(X \leq p) $$ 因為在每個價格 $ p $ 每個人的估值至少與 $ p $ 將購買他們的一個單位。但估值至少與 $ p $ 是一減去有估值的人的比例 $ p $ 或更低。
接下來，考慮一個家庭，其需求函式恰好看起來像 $ 1 - P(X \leq p) $ . 這個家庭對所有價格的商品的需求將與上述單位需求者的集體需求相同。
我相信這可以概括為您在問題中提出的更複雜的情況，但我還沒有弄清楚細節。