廣義 KPR：Frisch 彈性
考慮以下版本的 KPR 首選項（帶有 $ l $ 休閒）：
$$ U(c,l) = \left(\left(c\right)^\gamma l^\omega\right)^{1-\sigma} $$ 我追求弗里施彈性：
$$ \frac{\partial(1-l)}{\partial w} \frac{w}{1-l} $$ 注意 $ \frac{\partial(1-l)}{\partial w} = -\frac{\partial(l)}{\partial w} $ .
通常，可以將第一個組件計算為
$$ w\frac{\partial l}{\partial w} = \frac{u_l}{u_{ll} - \frac{u^2_{lc}}{u_cc}} $$ 因此，弗里施彈性由下式給出
$$ \eta = \frac{u_l}{\frac{u^2_{lc}}{u_cc} - u_{ll}}\frac{1}{1-l} $$ 有了給定的偏好，我有
$$ u_l = \omega l^{\omega-1} c^\gamma K\ u_c = \gamma c^{\gamma-1}l^\omega K\ u_{cc} = (2\gamma-1)\gamma c^{\gamma-2}l^\omega K\ u_{ll} = (2\omega-1)\omega l^{\omega-2}c^\gamma K \ u_{cl} = 2\gamma c^{\gamma-1} \omega l^{\omega-1}K $$ 然後弗里施彈性歸結為
$$ \eta = \frac{1}{\frac{4\omega}{2\gamma-1} + 1 - 2\omega}\frac{l}{1-l} $$ 這在某種程度上是有道理的：因為 $ \sigma $ 是跨期替代彈性，這裡沒有出現。然而，相對曲率 $ c $ 和 $ l $ 出現，這很好。然而，彈性並不獨立於 $ l $ . 因為我有點在 KPR 環境中（儘管增加了曲率 $ c $ )，我沒想到會這樣。
我的結果正確嗎？有沒有人對這個問題有更多的見解？
關於存在 $ l $ 在 Frisch 彈性中，您的結果是正確的。我的印像是弗里施彈性沒有 $ l $ 需要非常具體的功能形式。
例如我們知道下面的效用函式
$$ U(c,l) = ln(c) +\alpha \frac {(1-l)^{1+1/v}}{1+1/v} \tag{1} $$ 給出獨立於的 Frisch 彈性 $ l $ （進而 $ \eta=v $ ). 我們可以將其與您的實用程序規范進行比較並說“啊，所以我們必須具有加法可分離性才能獲得獨立於 $ l $ “……
不，這還不夠。請注意，本質上 $ (1) $ 效用不是休閒的正非線性函式，而是勞動的負非線性函式，因此術語 $ 1-l $ 出現。這對於消除 $ l $ 從最後的表達。
因為，如果我們一般假設加法可分性，那麼交叉偏導數為零，我們將剩下
$$ \eta = \frac{u_l}{- u_{ll}}\frac{1}{1-l} \tag{2} $$ 如果加法可分效用函式表示為非線性正函式 $ l $ ，而不是作為負的非線性函式 $ 1-l $ , $ (2) $ 也將取決於 $ l $ .
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另外，根據您的實用功能規範，我沒有發現 $ \sigma $ 不在最終畫面中。相反，我發現
$$ \eta = \frac{\gamma(1-\sigma)-1}{(\omega+\gamma)(1-\sigma)-1}\frac{l}{1-l} $$ 如果 $ \omega = 1-\gamma $ 這簡化為
$$ \eta = \frac{1-\gamma(1-\sigma)}{\sigma}\frac{l}{1-l} $$ 但這些都是危險的代數計算——你應該重新檢查。