幫助解決 Connelly 1992（經濟學）的效用優化問題
我正在閱讀Connelly 1992 年在 RESTAT 中發表的一篇論文，我希望在解決她設置的優化問題時獲得一些幫助。我很抱歉，這對你們中的許多人來說可能很簡單。我不是經濟學生，這不是我的強項。問題如下：
$$ \begin{equation} \max_{{?}} U(x_m, Q, t_l) \end{equation} $$ 英石 $$ \begin{equation} Q = Q(t_q,t_{cc}q) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} t_m + t_Q + t_l = 1 \end{equation} $$ $$ \begin{equation} t_m*W + V = x_m + p_{cc}t_{cc} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} t_Q + t_{cc} < 1 \end{equation} $$
她跳到下一部分，說一些 FOC 會導致： $ \frac{U_l}{U_x} = W = \frac{U_Q}{U_x}(Q_1-Q_2q^{})+p_{cc}^{} $ ， 在哪裡 $ q^{} $ 是最優選擇的水平 $ q $ 和 $ p_cc^{} $ 是最優選擇的價格 $ q $ .
我忽略了參數的上下文，我希望這並不重要。我主要希望有人可以幫助我了解如何解決效用最大值問題。特別是，我得到了消費者正在選擇哪些參數的一些提示，但並不完全清楚（因此 ? 我留在了最大值中）。此外，三向相等的第三個表達式對我來說並不明顯。
非常感謝您的耐心和幫助。
我猜文字考慮了問題
$$ \max_{x,Q,t_L,t_Q,t_{cc},t_m,t_L,q} u(x,Q,t_L), $$
受制於
$$ Q(t_Q,t_{cc}q)- Q=0 $$
$$ 1-t_Q-t_{cc}\geq0 $$
$$ 1-t_m-t_L-t_Q\geq 0 $$ $$ t_mW+V-x-p_{cc}t_{cc}\geq 0 $$
拉格朗日量是
$$ \mathcal L(.) = u(x,Q,t_L) + \lambda_1(Q(t_Q,t_{cc}q)-Q) + \lambda_2(1-t_Q-t_{cc}) + \lambda_3(1-t_m-t_L-t_Q) + \lambda_4 (t_mW+V-x-p_{cc}t_{cc}) $$
函式的導數 $ Q(.,.) $ 關於第一個參數表示 $ Q_1 $ 對於第二個論點 $ Q_2 $ . 關於選擇變數對拉格朗日函式進行微分導致以下一階條件
$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = \frac{\partial \mathcal u}{\partial x} - \lambda_4 = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial Q} = \frac{\partial \mathcal u}{\partial Q} - \lambda_1 = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial t_L} = \frac{\partial \mathcal u}{\partial t_L} - \lambda_3 = 0, $$
假設所有三個邊際效用在最優條件下都是嚴格正的，則根據 KKT 互補條件，約束 4,1 和 3 具有約束力（因為約束也在文本中說明）。
進一步的一階條件是
$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial t_Q} = \lambda_1 Q_1 - \lambda_2 - \lambda_3 = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial t_{cc}} = \lambda_1 Q_2q - \lambda_2 - \lambda_4p_{cc} = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial t_m} = -\lambda_3 + \lambda_4 W = 0, $$
唯一未被確定為邊際效用的拉格朗日係數是 $ \lambda_2 $ 但我們可以得到
$$ \lambda_2 = \lambda_1 Q_2q-\lambda_4 p_{cc} = \lambda_1 Q_1 - \lambda_3, $$ 因此
$$ \lambda_3 = \lambda_1 (Q_1 - Q_2q) + \lambda_4 p_{cc}, $$
與 $ \lambda_4 $ - 我們知道這是嚴格積極的 - 並使用它 $ \lambda_3/\lambda_4 = W $ 要得到
$$ W = \frac{\lambda_1}{\lambda_4}(Q_1 - Q_2q) + p_{cc} $$
它給出了替換錶達式的結果 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_4 $ 在邊際效用方面。
最後，對待 $ p_{cc} $ 作為一個函式 $ q $ 並在以下方面區分拉格朗日 $ q $ 要得到
$$ \frac{\partial L(.)}{\partial q} = \lambda_1 Q_2 t_{cc} -\lambda_4t_{cc} \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q} =0, $$
$$ t_{cc}\lambda_4 \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_4} Q_2 - \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q}\right)=0, $$
因此假設內部解決方案 $ t_{cc}>0 $ 它遵循
$$ \frac{\lambda_1}{\lambda_4} Q_2 = \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q} $$在文本中它只是說 $ Q_2 = \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q} $ 我猜這僅僅是因為 $ \frac{\lambda_1}{\lambda_4} $ 被忽略為最佳無關效用縮放常數中的一些。
馬瑟選擇她的時間分配來最大化她的效用。
$ \frac{U_{l}}{U_{x}}=W $ ：這部分只是將時間用於消費的邊際效用等於將相同時間用於休閒的邊際效用。
$ W=\frac{U_{Q}}{U_{x}}\left(Q_{1}-Q_{2} q^{}\right)+p_{c c}^{} $ ：這部分是在消費上使用時間的邊際效用等於在孩子身上使用相同時間的邊際效用。這比休閒案例更複雜，因為增加照顧孩子的時間也會減少花在托兒服務上的時間，這會通過改變孩子的質量和節省可用於消費的錢來影響母親的效用。