如何制定以下優化問題？
我想為全球變暖設置一個優化問題，其中計劃者確定排放了多少二氧化碳氣體。假設我們將這個問題減少到兩個時期，那麼我將問題表述如下：
$$ \max_{C_0, C_1} \quad \beta^0L_0u\left(\frac{C_0}{L_0}\right)+\beta^1L_1u\left(\frac{C_1}{L_1}\right) $$
我們有兩個時間段， $ u $ 是每個時間段的效用函式， $ \beta_1, \beta_2 $ 是貼現效用， $ L_t $ 是人口規模和 $ C_t $ 是總消費量。我很困惑如何包括社會規劃者如何確定排放多少二氧化碳氣體。我假設這是通過優化問題中的約束來完成的，但是如何實現這樣的模型呢？
如果你想通過解決優化問題來確定應該省略多少二氧化碳，那麼對二氧化碳數量的約束 $ CO_2 $ 不是你所需要的。整個經濟體的優化模型的正常約束是生產函式，因此一種方法包括 $ CO_2 $ 將使其成為生產函式中的變數。為了說明這一點，我做了簡化假設，即每個時期的消費等於產出、資本 $ K $ 是恆定的，勞動力等於人口，並且 $ CO_2 $ 排放發生在每個時期的開始。因此，我將第一個週期約束寫為：
$$ C_0\leq f(K,L_0,aC_0) $$
在哪裡 $ a $ 是 $ CO_2 $ 每單位產出/消費的排放量，以及 $ f $ 正在增加 $ K $ 和 $ L $ 並減少 $ aC_0 $ ，最後一點反映了假設的不利影響 $ CO_2 $ 關於農業產出。為了允許積累 $ CO_2 $ 在大氣中，我將第二個週期約束寫為：
$$ C_1\leq f(K,L_1,a(C_0+C_1)) $$
關於解決具有這些約束的優化問題並獲得 $ C_0 $ 和 $ C_1 $ ， 這 $ CO_2 $ 每個時期的排放量可以計算為 $ aC_0 $ 和 $ aC_1 $ .
另一種方法，側重於氣候變暖的直接影響 $ CO_2 $ 對人類健康和福利的排放，將反映在效用函式中。所以問題可以表述為：
$$ \max_{C_0,C_1}\beta^0L_0u\left(\frac{C_0}{L_0},aC_0\right)+\beta^1L_1u\left(\frac{C_1}{L_1},a(C_0+C_1)\right) $$
在哪裡 $ u $ 正在減少 $ CO_2 $ 條款。這可能會受到一個簡單的生產約束：
$$ C_i\leq f(K,L_i) $$
這些替代方案可以結合使用，包括 $ CO_2 $ 在目標函式和約束中，儘管問題越複雜，其解決方案就越有可能變得棘手。