效用
如何顯示這個價值函式的凸性？
我設置了一個優化問題，如下所示：
$$ V(A)=\max_{l, C} \quad u(C,l) $$
唯一的約束如下：
$$ C=f(l,A) $$
這裡 $ u $ 是反映社會福利的效用函式。 $ f $ 是產生消費的生產函式 $ C $ .
$ l $ 代表勞動，所以效用函式 $ u $ 正在減少 $ l $ 投入，生產函式 $ f $ 正在增加 $ l $ . 清楚地， $ u $ 在消費方面正在增加 $ C $ . 最後， $ A $ 是狀態變數，是生產函式的負輸入，即更多 $ A $ 等於少生產。
在這裡，我假設效用函式擷取了通常的凹/凸屬性，擷取了好的事物的邊際收益遞減和壞事物的邊際成本增加。我也假設 $ f $ 是一個連續函式。
現在我的問題是：我們能否得出結論，這個價值函式是凸的 $ A $ ?
我的方法是使用以下定理：
認為 $ V $ 是凸函式的上包絡線，即 $ V (a) = \max_{b} v(a, b) $ 在哪裡 $ v(·, b) $ 是每個的凸函式 $ b $ ， 然後 $ V $ 是凸的。
但是，我不完全確定如何在這裡應用它，有什麼想法嗎？
假設 $ u(C,l)=\sqrt{C}-l^2 $ 和 $ f(l,A)=\big(l+g(A)\big)^2 $ ， 在哪裡 $ g $ 是任何函式 $ A $ 那不是凸的。
然後$$ u\big(f(l,A),l\big)=l+g(A)-l^2. $$ 最優勞動力供給由下式給出 $ 1/2 $ . 所以價值函式由下式給出
$$ V(a)=1/4+g(A). $$自從 $ g $ 不是凸的，價值函式也不是凸的。顯然，你需要更多的假設 $ f $ .