您如何測量兩種以上商品的 MRS？
對於兩種商品，MRS 被定義為您可以用一種商品換取另一種商品的數量。數學上，$$ \text{MRS} = \frac{dy}{dx} $$商品數量在哪裡 $ X $ 和 $ Y $ 表示為 $ x $ 和 $ y $ 分別。
我們如何為三種或更多商品做到這一點？方法（根據我的理解）是找到切線（超）平面（稱之為 $ T $ ） 第一的。現在考慮一個點 $ q \in B(p,\epsilon) \cap T $ 對於一個無限小的 $ \epsilon > 0 $ . 這告訴我們，我們可以得到/給予 $ q_1 $ 好單位 $ X_1 $ , $ q_2 $ 好單位 $ X_2 $ , $ \cdots $ , $ q_{n-1} $ 好單位 $ X_{n-1} $ 給予/得到（交易）一個單位 $ x_n $ .
我如何找到切線 $ T $ 而這些元素 $ q $ ? 為此，我需要一個通用公式來計算所有 $ (x_1, \cdots, x_n) $ 滿足方程。我怎麼做？
目標是找到我們需要獲得/給予的每種商品的單位數量 $ x_n $ . 這不一定是 $ x_n $ ，但為了簡潔起見，我們正在研究這個特殊情況。變數的變化不是這裡的主要關注點。
成對的 MRS
邊際替代率通常被定義為成對的事物。例如，在三種商品的情況下 $ x,y $ 和 $ z $ ， 你將會擁有 $ \text{MRS}{xy}, \text{MRS}{xz} $ 和 $ \text{MRS}{yz} $ . （你也可以翻轉其中任何一個，即 $ \text{MRS}{yx} $ .)
這些被定義為二維無差異曲線的切線的斜率，同時保持所有其他商品的數量不變。從數學上講，它們與兩種商品的“通常”MRS 相同，例如， $$ \text{MRS}_{yz}(x,y,z) = -\frac{\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial y}}{\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial z}}. $$
切向超平面
如果我理解正確，您正在嘗試找到與無差異曲線相切的超平面。當有兩個以上但數量有限的商品時，可以使用效用函式的雅可比矩陣找到。
函式的Fréchet 導數 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 是向量 $ A $ 什麼時候 $$ f(x + h) = f(x) + Ah +o(h) $$ 在哪裡 $ \lim_{||h|| \to 0} \frac{o(h)}{||h||} = 0 $ .
如果我們正在考慮的向量空間是有限維的並且 $ f $ Fréchet 處處可微，則Fréchet 導數由雅可比矩陣給出 $ f $ ，表示為 $ J_f $ .
考慮一個可微的效用函式 $ U $ 然後讓 $ \underline{x} $ 成為一籃子商品。這也定義了一條無差異曲線。考慮一些附近的籃子 $ \underline{x} + \underline{h} $ 它們在同一條無差異曲線上，所以 $$ U(\underline{x} + \underline{h}) = U(\underline{x}). $$ 根據 Fréchet 導數 $$ U(\underline{x} + \underline{h}) = U(\underline{x}) + J_U(\underline{x}) \underline{h} +o(\underline{h}), $$ 意思是 $$ J_U(\underline{x})\underline{h} = - o(\underline{h}). $$ 由於乘以 $ J_U(\underline{x}) $ 是一個線性運算元，這意味著 $$ J_U(\underline{x})\underline{h} = 0. $$ 因此雅可比定義了切線超平面。
範例：
讓 $ U(x,y) = xy $ . 那麼雅可比是 $ J_U(x,y) = \begin{bmatrix} y & x \end{bmatrix} $ ， 和 $ \text{MRS}(x,y) $ 是解決方案 $$ J_U(x,y)\begin{bmatrix} 1 \ \text{MRS}(x,y) \end{bmatrix} = 0. $$ 在這種情況下 $$ \begin{bmatrix} y & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ -y/x \end{bmatrix} = 0. $$
超平面和成對 MRS 的關係，一個例子
可以以類似的方式收集成對的 MRS。回到三個商品的例子 $ x,y $ 和 $ z $ ，成對的 MRS 是以下矩陣方程的解： $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 1 \ \text{MRS}{xy}(x,y,z) \ 0 \end{bmatrix} = 0, $$ $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ \text{MRS}{xz}(x,y,z) \end{bmatrix} = 0, $$ $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 0 \ 1 \ \text{MRS}_{yz}(x,y,z) \end{bmatrix} = 0. $$
超平面和多商品交易
雅可比還向我們展示瞭如何交易多種商品並保持“接近”相同的無差異曲線。如果 $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 1 \ \Delta y \ \Delta z \end{bmatrix} = 0 $$ 持有然後以該向量定義的比率進行少量交易將使我們“接近”無差異曲線。在我看來，這與多維 MRS 最接近。