如何推導需求函式在(X1,X2)=X1−X2在(X1,X2)=X1−X2U(x_1,x_2)=x_1-x_2
我試圖找到未補償的需求函式。當我有以下實用功能時，你會怎麼做 $ u(x_1,x_2)=x_1-x_2 $ , 和預算約束 $ p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2=p_1\cdot e_1+p_2\cdot e_2 $ .
我發現了以下內容。
$ \max\ u(x_1,x_2)=x_1-x_2 \ s.t. \ p_1(x_1-e_1)+p_2(x_2-e_2)=0 $
通過使用替換，我必須最大化以下表達式
$ \max\ u(x_1,x_2)=x_1-\frac{p_1(e_1-x_1)+p_2e_2}{p_2} $
我找到了焦點
$ \frac{\partial u}{\partial x_1}=1+\frac{p_1}{p_2}=0 $
設計了一些經濟學問題來幫助我們練習交易的基本工具（例如優化）。其他的旨在迫使我們思考問題的機制，以幫助我們更好地理解潛在的經濟學。
這個問題屬於後一類，所以我建議你放棄嘗試通常的微積分（它的前提是找到某種無差異曲線的切線）並解決這個問題以找出為什麼這種方法不起作用。
一個消費者與 $ u=x_1-x_2 $ 束之間無動於衷 $ (4,3) $ 和 $ (3,2) $ . 我們可以繪製這些和其他無差異芽來繪製無差異曲線：
同樣，消費者對 $ (4,4) $ 和 $ (5,5) $ 我們可以通過這種方式得到一張無差異圖：
通過檢查效用函式，我們知道消費者越多越好 $ x_1 $ 更少 $ x_2 $ ，所以效用按指示的方向增加。
現在我們可以選擇一個禀賦向量（例如，. $ (2,4) $ ）和相對價格（例如 $ -p_1/p_2=-1 $ ) 並繪製價格線：
消費者可以從他們的禀賦交易到沿著這條線的任何一點。通過檢查，你應該能夠弄清楚需求向量是什麼 $ \mathbf{x}=(x_1,x_2) $ 將會。
附錄：一旦你弄清楚這裡發生了什麼，你的狀況
$$ \frac{\partial u}{\partial x_1}=1+p_1/p_2 $$ 應該對你更有意義。
如果 $ p_1, p_2 >0 $ , 你不應該消費 $ x_2 $ ，因為它消極地進入你的目標。所以你應該消費 $ x_1^* = (p_1 e_1 + p_2 e_2)/p_1 $ 和 $ x_2^* = 0 $ .
如果價格不一定是正數，您可能會獲得無限的效用。例如，如果 $ p_2 = -2 $ 和 $ p_1 = 1 $ , 增加 1 個單位 $ x_2 $ 將您的預算約束放寬 2，因此您可以購買 2 個單位 $ x_1 $ ，並獲得 1 的淨效用增加。因此，如果 $ |p_2| > p_1 $ . 像這樣的情況很多。
不要使用拉格朗日。拉格朗日的一階條件僅在特殊情況下有效，就像 FONC 並不總是對一維函式有效（如 $ x^3 $ 在 $ [0,1] $ 或者 $ \mathbb{R} $ ， 例如）。