如果一個有序尺度的效用函式是通過嚴格遞增的變換來定義的，它怎麼能代表一個無差異的情況呢？
問題：根據 Wulf Gaertner (2009, p. 13) A Primer in Social Choice Theory，任何嚴格遞增的個人序數效用函式變換都是資訊等價的。他說：
“就可用資訊而言，唯一重要的是，比如說，商品捆綁 $ a $ 喜歡或不喜歡或不喜歡商品捆綁 $ b $ 或者，用效用指數表示，是否 $ a $ 效用指數高於或同等高或低於 $ b $ .”
然而，這是有道理的，當我查看“嚴格遞增函式/轉換”的定義時，我對這將如何允許一個人表示冷漠的情況以及嚴格偏好的情況感到困惑。
Ken Binmore (1983, p. 109)數學分析：一種直接的方法正式將遞增和嚴格遞增函式定義為：
增加功能： $ \forall x,y \in X: (x > y) \Longrightarrow ( \ f(x) \geq f(y) \ ) $
嚴格遞增函式： $ \forall x,y \in X: (x > y) \Longrightarrow ( \ f(x) > f(y) \ ) $
因此，在效用方面嚴格遞增的轉變——對於個人而言 $ i $ ————（我認為）會被正式定義為：
嚴格增加改造： $ \forall x,y \in X: ( \ u_i(x) > u_i(y) \ ) \Longrightarrow ( \ f(u_i(x)) > f(u_i(y)) \ ) $
但是，由於這僅根據嚴格的不等式來定義（ $ \ u_i(x) > u_i(y) \ $ ）我很困惑這如何允許個人對兩種選擇無動於衷的情況： $ xI_iy = ( \ u_i(x) = u_i(y) \ ) $ . 或者三個或更多備選方案的情況 $ i $ 嚴格偏愛一些，對其他冷漠：例如 $ ( \ u_i(x) = u_i(y) \ ) > u_i(z) $ . 難道這些不是排序情況，排序不以嚴格的效用不平等為特徵嗎？
**重複資訊：**我知道 Eric ‘3ToedSloth’ 之前曾提出過一個與此非常相似的問題（序數效用和單調變換）。Eric ‘3ToedSloth’ 的問題集中在序數尺度效用函式和單調變換的定義上。他還提到了表現冷漠的困難。我問這個問題的原因是接受的答案（到 201p）專注於通過顯示增加（/弱單調）轉換破壞排序資訊來回答問題，而不是我最困惑的問題：如何序數效用函式（根據嚴格遞增的變換定義）可以表示無差異。（有可能201p的答案確實涵蓋了這一點，但我太愚蠢了，無法看到）。理想情況下，我會將此作為澄清性評論，但我缺乏發表評論的聲譽水平。
我認為您最困惑的是“根據嚴格遞增的轉換定義”或“資訊等效”的含義。
您應該按照以下方式思考，如果該功能從捆綁 a 中給出的值高於/低於捆綁 b 的值，如果該人更喜歡/更少/相同的捆綁 a 而不是捆綁 b，則效用函式代表某人的偏好。假設這樣的函式是 $ u(x) $ ，那麼你可以問，有沒有具有這種屬性的獨特功能（即代表人的偏好），答案是否定的。任何嚴格遞增的單調變換 $ u(x) $ ， 說 $ f(u(x)) $ 也是描述人的偏好的函式。因此我們說這兩個是有效的表示，並且是等價的（或資訊上等價的）。
請注意，每當您比較兩個捆綁包時，您可以使用任何一種可能的表示，而“嚴格遞增單調變換”部分只是檢查兩個函式是否是偏好的等價表示。